问题描述
让 G 为一个给定的无向简单图，边权重为 w。是否存在时间复杂度为 O((n+m)log^*(n+m)) 的算法，该算法计算节点对 (u,v) 的数量，其中存在从 u 到 v 的路径，总权重为一些给定的常数 W？寻找算法或证明不存在此类算法。
我已经尝试过 union find + DFS 但它似乎不会只使用最多 n+m 次调用 Find/Union...我也尝试过通过解决 APSP 来反驳算法的存在时间复杂度低于下限，但无济于事。
解决方法
成功显示不存在这样的算法：
自相矛盾地假设存在这样的算法。
设 G 是一个给定的无向未加权图，我们将计算图的直径如下：
- 为图中的每条边分配权重 1。因此，加权直径等于未加权直径。
- 我们发现图的直径以 m 为界
- 使用算法执行二分搜索以找到图形的直径（检查每个值是否计数返回零）。
总的来说，我们在 O((n+m)log(n)log*(n+m)) 中找到 G 的直径。当前用于查找图直径的最佳算法是 O(min(nm,~n^2.4))。因此，至少，如果该算法成功，那么计算直径的时间复杂度将显着降低。不完全是证明，但足以达到我需要的目的。