问题描述
我的递归关系为：
T(n) = T(ceil(n/3)) + T(ceil(3n/5)) + 100*n 和 T(1) = 1
我正在尝试使用递归树方法解决它，但我不知道如何处理递归关系中的天花板函数。
那么，我怎样才能找到 T(n) 的最紧渐近界？
解决方法
您可以使用 Akra-Bazzi theorem.。为此，您可以使用 ceil(x) = x + 1 - {x} 这一事实，使得 {x} 是 x 的小数部分。
因此，您可以重写复杂性术语，如下所示：
T(n) = T(n/3 + 1 - {n/3}) + T(3n/5 + 1 - {3n/5}) + 100n
因此，定理中的参数是：
a1 = a2 = 1,b1=1/3,b2 = 3/5,h1(n) = 1 - {n/3},h2(n) = 1 - {3n/5},g(n) = 100n
如您所见，0 < b1,b2 < 1、a1,a2 > 0、h1,h2 < 1 和 g(n) 是线性的。这意味着定理的所有要求都成立。
现在，是时候找到 p 使得：
(1/3)^p + (3/5)^p = 1 => p ~ 0.9
因此，T(n) = Theta(n^p (1 + int(100 u/u^{p+1},1,n))。
为了简化这个术语，我们需要计算积分：
int(100 u/u^{p+1},n) = 100 * int(1/u^p,n) = 100 (n^{1-p}/(1-p) - 1)
所以复杂度的简化项是T(n) = Theta(n)。
@OmG 使用 Akra-Bazzi 定理的回答很好地展示了如何使用该数学工具。这是使用递归树查看为什么运行时是 O(n) 的不同方法。
让我们从绘制递归树的顶部两层开始：
+--------------------+
| n items,100n work |
+--------------------+
/ \
+------------------------+ +-------------------------+
| n/3 items,100n/3 work | | 3n/5 items,300n/5 work |
+------------------------+ +-------------------------+
纯粹为了方便起见，我没有设置上限，因为它们不会对整体分析产生影响。
注意第二层所做的工作等于
100n / 3 + 300n / 5 = 500n / 15 + 900n / 15 = 1400n / 15 = 100n * (14 / 15),
这比上面一层所做的工作要低。具体来说，这里的工作量几何减少了 14/15。事实上，每次我们进行递归调用时，这两个子调用将共同完成其上一级工作的 14/15 部分。
这意味着所有递归调用完成的总工作是
（在第 0 层工作）+（在第 1 层工作）+（在第 2 层工作）+ ...
≤ 100n + (14/15) · 100n； + (14/15)2 · 100n + (14/15)3 · 100n + ...
≤ 100n(1 + (14/15) + (14/15)2 + (14/15)3) + (14/15)4 + ...)
最后一个和是一个几何级数的和，结果是
1 / (1 - 14/15) = 1 / (1/15) = 15,
所以完成的总工作量最多为 1500n。
直观地，如果您看到这样的递归树，其中每个级别完成的工作从一个级别下降到下一个常数，那么完成的总工作量将只是在顶级完成的工作量的常数倍。主定理及其推广 Akra-Bazzi 定理本质上通过量化发生这种情况的条件并为其提供精确的封闭形式解决方案来形式化这一想法。但是，如果您在将来看到这样的重复发生，其中工作以几何级数从一个级别下降到另一个级别，您应该有一种“直觉”，即完成的工作总量最多只能达到顶级水平的一些倍数。
（你可以在中位数算法 T(n) = T(n / 5) + T(7n / 10) + n 的著名递归上试试这个，其中有一个类似的衰减树的层到下一个。）
在进行此分析时，我忽略了所有地板和天花板，这在数学上并非在所有情况下都安全。但在这里，它最终没问题，因为我们在每个级别上的微量并没有在整个树中加起来那么多。为了证明这一点，您可以使用替换方法并尝试证明已完成工作的精确界限。