问题描述
我发现 Arb library，如果有足够的时间，它 should 能够计算非常高精度的正弦值。但是，我做不到。
尝试 sine example，我可以得到预测的输出。
然而，当我试图通过将位数从 4096 增加到 32768 来提高精度时，我无法：
Using 64 bits,sin(x) = [+/- 2.67e+859]
Using 128 bits,sin(x) = [+/- 1.30e+840]
Using 256 bits,sin(x) = [+/- 3.60e+801]
Using 512 bits,sin(x) = [+/- 3.01e+724]
Using 1024 bits,sin(x) = [+/- 2.18e+570]
Using 2048 bits,sin(x) = [+/- 1.22e+262]
Using 4096 bits,sin(x) = [-0.7190842207 +/- 1.20e-11]
Using 8192 bits,sin(x) = [-0.7190842207 +/- 1.20e-11]
Using 16384 bits,sin(x) = [-0.7190842207 +/- 1.20e-11]
Using 32768 bits,sin(x) = [-0.7190842207 +/- 1.20e-11]
给定的例子有 x = 2016.1。
使用 x = 0.1，我们得到以下输出：
Using 64 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 128 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 256 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 512 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 1024 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 2048 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 4096 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 8192 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 16384 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
Using 32768 bits,sin(x) = [0.09983341665 +/- 3.18e-12]
这个精度似乎比sin的{{1}}函数还要小。
我想提高精度以说 math.h（或任何其他精度）。如果有人能指导我，我将不胜感激????。
代码：
e-40解决方法
使用 x*(1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! ...) 可以实现更好的初始添加和更清晰的循环终止条件。
通常的正弦泰勒级数：sine(x) 是 x - x^3/3! + x^5/5! - x^6/7! ...，是 OP 使用的形式。
预计正弦泰勒级数的每个项具有大约相同的相对进动，只是在后面的项中失去一点精度。
然而，通过添加项（和跟踪容差），总和并不比最大 2 项的绝对精度更精确。
通过将 sine(x) 形成为 x*(1 - x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! ...)，我们在第一项 1.0 中具有无限精度，因此对于小的 x，精度受到第二项的限制并且循环可以停止在 1.0 中添加一个术语没有任何区别。
这并不能很好地解释为什么 OP 的结果停留在 0.09983341665 +/- 3.18e-12。
然而，注意对最大项求和（通过将其中一项设为具有无限精度的 1.0）会有所帮助。