使 Facebook 广告成为最大流量问题

问题描述

问题

Facebook 拥有各种个人信息，因此可以通过承诺向特定人群投放广告来吸引广告商。广告商垂涎三尺，准备掏出大笔钱。现在，Facebook 正试图找出一种有效的方法，向尽可能多的用户投放有针对性的广告。

此过程的第一步是将人们分为人口统计群体。在 Facebook 上，这些分类可能基于地理位置、年龄、对某种音乐的兴趣、大学专业等。我们假设这一步由数据挖掘组负责，他们已经确定了 k 个人口统计组 G_1、G_2、...、G_k。请注意，这些组可以重叠； G_1 可能是住在贝灵厄姆的人，G_2 可能是喜欢披萨的人，G_3 可能是计算机科学专业的学生。

Facebook 的营销部门正在与 m 个不同的广告商签订合同，以便向网站用户展示一定数量的广告。以下是与第 i 个广告客户签订的合同：

1. 对于人口统计组的子集 X_i = {G_1,G_2,...,G_k}，广告客户 i 的广告将仅向属于 X_i 中至少一个人口统计组的用户展示

2. 对于数字 r_i，广告商每分钟至少向 r_i 个用户展示其广告

现在考虑展示一分钟广告的问题。具体来说，您希望创建一种在这一分钟向每个用户展示不超过一个广告的方式，以满足尽可能多的广告合同。假设在给定的时间里，网站上有 n 个用户，我们知道用户 j 属于人口统计组的一个特定子集。

您能否将这个问题表述为最大流量问题，并解释如何确定是否有可能在这一分钟向每个用户展示一个广告，从而满足 Facebook 与 m 个广告商中的每个广告商的广告合同？如果可能，您应该解释如何将用户与广告配对以满足合同。

注意：在描述如何使其成为最大流问题时，请给出图的结构（节点和边是什么）、这些边的容量以及源和汇。

我的困惑： 我真的很纠结从哪里开始解决这个问题。

可以肯定，来源应该是广告，外向边指向容量为 1 的每个人。（这是针对每个用户的单个广告）

这似乎也有一个二部匹配图结构，人们指向他们所在的类别。

然而，我很困惑有多个不同的顾问适合这一切。

然而，我上面的所有想法都可能是错误的，我真的很挣扎。

解决方法

这可以通过对最大流的概括来解决：最小成本流。由于问题陈述中的这句话，我不相信这可以用香草最大流解决，

具体来说，您希望创建一种方式，在这一分钟内向每个用户展示不超过一个广告，以满足尽可能多的广告合同。

为了满足这个声明，在最大流量问题中连接到广告商的每条边上都需要一个最小容量（在一些文本中 [1] 仍然被认为是最大流量问题的一个小变化。）也就是说，即使它可以作为 maxflow 来解决，MCF 公式是一种更自然、更简单的应用工具，因为您可以轻松地将其扩展为包含每个合约的（整数）值，从而使每分钟的利润最大化。

解决这个问题的 MCF 是一个简单的层图：

s -> A -> G -> U -> t

其中 s 是来源，t 是汇，A 是广告商层，G 是人口群体层，{{1} } 是用户层。 U 符号表示有从上一层到下一层的有向节点。除非另有说明，每条边的成本为 ->，容量为 0。

放置来自 1 的边，其容量为 s -> A_i 和一些大的负常数 r_i 作为成本。还添加来自 M 的边，成本为 0，容量为无限。这些边集通过用 s -> A_i 的价值（-M > 0 的成本）奖励每个合同来确保我们满足尽可能多的合同。请注意，对我们来说，一个自然的扩展是每份合约 M < 0，反映其对 Facebook 的实际价值。

如果 M_i 对人口统计组感兴趣，则放置来自 A_i -> G_j 的边。将每条边的容量设置为无穷大，将权重/成本设置为 0。

如果用户 A_i 属于人口统计组 G_j -> u_k，则放置来自 u_k 的边。将容量设置为 G_j，成本设置为 1。

放置来自 0 的边，容量为 u_k -> t，成本为 1，以确保每个用户只看到一个广告。

使用任何最小成本流算法解决这个网络流问题，并使用流直接告诉您在给定约束的情况下可以满足多少合同。

[1] https://courses.engr.illinois.edu/cs498dl1/sp2015/notes/25-maxflowext.pdf