问题描述
给定一个 n 实数数组 {a0,a1,...,a(n-1)}
和一个具有 n 位的二进制数，函数 f(x)（其中 x 是二进制数）计算：
f(x)= Sum{from i = 0 to i = n-1} (ai) * bit(x,i)
其中 bit(x,i) 表示二进制数 i 的第 x 位。
例如：a:={12,10},f(01) = 12 * 0 + 10 * 1 = 10
输入是数字数组 n、数字数组 a 和二进制数 t 的大小。
问题是找到 x，它为我们提供了 f(x) 的最大值并且小于 t。
示例：
input:
n=5
a=5 8 -3 6 9
t=10111
output:
x=01011
我的解决方案是从 1 开始所有正数和 0 开始所有负数，然后尝试减少数字直到它小于给定的数字。但这需要很多时间，我想找到一个更聪明的解决方案。
解决方法
我认为，对于任何二进制数 t，您只需递归地考虑每个最高有效位的两个选项：它自己（没有 a 中的负数），以及比它的最重要位少一个有效位（不含 a 中的负数）。
对于二进制数，例如 4 = 100，其最高有效位（在本例中为 4s 位）将始终大于所有其他小于它的位，例如 3 = 011。因此，当考虑任意目标二进制数 t 时，它的形式为
k l
/---\ /---\
0...010...01(0|1)*
第一个之前的 k 零永远不会参与解决方案，因为所有小于 x 的 t 在这些位置也会有零。在 MSB 之后但在下一个最大的 l 之前的 1 零都可供您使用。所以你可以考虑
k l
/---\ /---\
0...001...111*
（排除负数，因为它们将始终被排除。）
您可以继续对 1 中的每个 t 进行比较。让我们看一些例子：
a:={1,1,5000,4999},t:=0010,here you use x:=t
a:={1,4999,5000},here you use x:=0001
a:={5000,1},t:=1000,here you use x:=0111
a:={5000,4000,4000},t:=1010,2000,2000},here you use x:=1001
在每个示例中，我们只考虑 t 中的 MSB，或者比 t 中的 MSB 少一个。
所以您的运行时复杂度是 O(k)，其中 k 是 t 中的 1 的数量。 O(n) 的最坏情况复杂度，其中 n 是 a 的大小（t 都是 1）。
这是我的方法，大量评论是尽可能对初学者友好。 我没有尝试“改进”原始位图，而是从 0 开始并从与最高数组值匹配的位开始一个一个地打开位（在您的示例中为“1”位，因为它与数组中的第 9 个）一直到最低的一个，除非数组值为负或生成的位图会超过原始位图。
应该是 O(n * log(n))，n 是数组的长度，因为我对数组进行了排序。
def bestBitMap(array,original):
# Empty mask (i.e 00000) in integer form.
result = 0
# Original mask in integer form.
original = int(original,2)
# We iterate the array by its indexes from highest to lowest value.
#(i.e in [5,8,-3,6,9] i starts at index 4 (value 9),then 1 (value 8),then 3 (value 6),and so on).
sorted_indexes = sorted(range(len(array)),key = lambda e: array[e],reverse=True)
for i in sorted_indexes:
# mask for the bit we may turn on with a bitwise OR operation.
# Bits go from right to left so we invert the index.
mask = (2 ** (len(array) - i - 1))
# Here we check both if the number is positive and if the current result masked by
# the current mask wouldn't surpass the original.
if array[i] > 0 and ((result + mask) <= original):
result += mask
# We return the results in binary format
return ("{0:0" + str(len(array)) + "b}").format(result)