在线性时间内找到 k-着色k = 2/3图

问题描述

问题：

给定一个图 G = (V,E) G 的 k 着色是顶点的标签，颜色为 c_1,c_2,...,c_k 使得对于每条边 (u,v) 的颜色u 与 v 的颜色不同。

A.给出一个线性时间算法，为一棵树找到一个 2-coloring。

B.考虑用两种颜色为树着色，以便获得最大数量的 c_1 节点。证明您的 (a) 部分中的算法（可能稍作修改）可用于解决此问题。准确点。

C.显示一个树 T 的示例，它最多可以有 j 个节点在 2 着色中着色为 c_1，但 T 可以在 3 着色中具有 j' > j 个着色为 c_1 的节点。尝试找出这种树 T 的最小例子。

D.给出一个线性时间动态规划算法，该算法为树创建 3 着色，使得最大节点数为 c_1。证明你的回答是正确的。

我有什么：

A 和 B 部分看起来很简单，但我在 C 和 D 上挣扎

A.这看起来很简单，运行DFS，但是如果它就修改它

遇到一个未着色的节点颜色它 c1 和它的子节点 c2，
遇到一个有颜色的节点，它的子节点颜色相反
如果它曾经试图“翻转”一个孩子的颜色，然后返回它不可能有 k 着色

这只是 DFS，所以将运行在 O(V+E)

编辑：由于这是一棵树，您可以在随机节点上调用 BFS，在 BFS 中交替颜色

B.由于这是一个二元第一选择（即 c1 或 c2）并且所有选择都遵循第一选择，我们可以简单地计算哪个更优着色第一个节点 c1 或 c2。我们可以通过在上述算法中添加一个计数器来计算 c1 节点的数量。从c1开始运行算法两次，然后从c2开始，比较两者之间c1节点的数量，然后选择c1节点较多的图

C.摆弄了一段时间，找不到一个，更不用说最小的了

编辑：王冰作品描述的1-3、2-3、3-4、4-5、4-6

D.不知道。我假设您将不得不使用修改后的 DFS 让它以线性方式运行，但除此之外我非常不确定。我可以想出蛮力的方法，但没有什么是线性运行的。

编辑：仍然对此感到困惑

解决方法

c：1-3、2-3、3-4、4-5,4-6。这棵树可以有 3 个双色的每个颜色的节点。但是，如果将节点 #3/#4 着色为其他两种颜色（三色），则可以有 4 个相同颜色的节点。通过检查所有可能性，您应该很容易证明没有更小的答案。

D：只需遍历树，例如DFS。每个节点需要保留所有 3 种颜色的 c_1 计数。当您处理第一个节点时，这将是 (1,0) - 相当容易计数。将节点添加到访问中后，尝试所有 3 种颜色，每种颜色将与连接节点的 2 种颜色兼容，从中选择较大的一种，以此类推，以构建当前节点的 3 个值。

E=[(1,3),(2,(3,4),(4,5),6)]
V={v:set() for e in E for v in e}
[None if V[e[0]].add(e[1]) else V[e[1]].add(e[0]) for e in E]
serialized={}
def traverse(c):
    serialized[c]=V[c]
    [traverse(n) for n in V[c] if n not in serialized]
    
traverse(E[0][0])
visited=set()
for k,v in reversed(serialized.items()):
    filtered=v.intersection(visited)
    visited.add(k)
    m=[1+sum(max([V[child][1],V[child][2]]) for child in filtered),sum(max([V[child][0],V[child][1]]) for child in filtered)]
    V[k]=m
print(max(V[k]))

A.选择任何顶点并给它上色 c1。从那里运行 BFS。奇数距离处的所有东西都得到 c2，偶数距离处的所有东西都得到 c1。

B.只有两种颜色，它们的区别仅在于将 c1 替换为 c2。如果需要，运行 (A) 并交换。

C.想象一下 A 和 B 是相连的，a 有许多其他邻居，它们都是叶子，B 也是如此。使用 2 种颜色，您可以获得比 A 或 B 大的一种给定颜色，但使用三种颜色您可以得到两种A 和 B 不同的颜色，并将所有的叶子涂成相同的颜色。叶子的数量取决于 j 和 j' 输入。如果我们要找到 j 和 j' 的最小值，则给出每两片叶子。然后你可以有四个 c1 叶子，A c2 和 B c3，而不是最多只有 3 个只有两种颜色。

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