在python中通过其泰勒级数实现cos(x)

问题描述

我必须使用其泰勒级数在 python 中实现余弦函数。我必须打印它的值以及下面 listt 中所有值的绝对和相对误差。这是我尝试过的：

import math

def expression(x,k):
   return (-1)**k/(math.factorial(2*k))*(x**(2*k))
pi=math.pi
listt=[0,pi/6,pi/4,pi/3,pi/2,(2*pi)/3,(3*pi)/4,(5*pi)/6,pi]
sum=0
for x in listt:
   k=0
   relative_error=1
   while relative_error>10**(-15):
       sum+=expression(x,k)
       absolute_error=abs(math.cos(x)-sum)
       relative_error=absolute_error/abs(math.cos(x))
       k+=1
    print("%.20f"%x,'\t',"%.20f"%sum,"%.20f"%math.cos(x),"%.20f"%absolute_error,"%.20f"%relative_error )

然而，这会产生巨大的错误。原因可能是我执行了所有这些减法。但是，我不知道如何避免它们。我在为负 x 计算 e^x 时遇到了同样的问题，但是如果 x 为负，我只是计算了 e^(-x)，然后我可以写出 e^x=1/e^(-x)。这里有类似的技巧吗？
另外请注意，我的 while 是无限的，因为相对误差总是很大。

解决方法

致命错误：您将 sum=0 设置在测试点的循环之外。您需要为每个测试点重置它。如果您将近似余弦计算设为单独的函数，则可以轻松避免此错误。

---

通过乘以前一项的商来计算级数的项总是一个更好的主意。这避免了阶乘的计算以及它的增长可能产生的所有困难。

也就是说，项的增长与指数级数的增长相同，因此最大的项是 2*k 约为 |x|。对于不应该过大的给定点。

更准确地说，余弦部分和的误差小于下一项，因为序列是交替的。 2*k 的度 |x|<=4 项具有近似界限，使用斯特林公式计算阶乘，

4^(4*k)/(4*k/e)^(4*k) = (e/k)^(4*k) < (3/k)^(4*k)

其中 k=6 给出了 2^(-24) ~ 10^(-7) 的上限。因此，测试值应该没有灾难性的错误。

另见Calculate maclaurin series for sin using C、Issue with program to approximate sin and cosine values、Sine calculation with Taylor series not working