ULP最后一个单位和量子IEEE 754之间的区别

问题描述

John Harrison 提出的另一个定义略有不同：ULP(x) 是两个最接近的跨浮点数 a 和 b（即 a ≤ x ≤ b 且 a ≠ b）之间的距离，假设指数范围没有上限。

来自 IEEE 754 2008：

2.1.44 量程：有限浮点表示的量程是其有效数最后位置的单位值。这等于将基数提高到指数 q，当有效数被视为整数时使用。

问题：ULP（John Harrison 的定义）和 quantum（来自 IEEE 754）有什么区别？

我是否理解正确 double x 的量子可以计算为：

double ulp(double x)
{
        int exp;
        frexp( x,&exp );
        return ldexp( 0.5,exp-52 );
}
double quantum(double x)
{
        int exp;
        return ulp(frexp( x,&exp ));
}

解决方法

ULP（John Harrison 的定义）和量子（来自 IEEE 754）有什么区别？

[编辑]

OP 的 quantum() 似乎不正确，对于所有有限 1.11022e-16 始终返回 x，即使 x 是次正态。

答案的其余部分假设 quantum() 更像下面的 quantum_alt()，对于每个 [power-of-2 ... 2*power-of-2) 都有相同的结果。请注意 [)。

基数的力量

当 x 是基数的幂时 These definitions differ only at signed powers of the radix

对于 binary64，请考虑 x 何时是 2 的幂。下一个较大的 FP 值是 x + u，下一个较小的值是 x - u/2。

John Harrison：“两个最接近的跨浮点数 a 和 b（即 a ≤ x ≤ b 且 a ≠ b）之间的距离”意味着 a 是较小的值，而 {{1 }} 和 ULP 是 x == b。¹

Quantum：“表示是一个单位在其有效数最后一个位置的值”意味着 u/2 是 ULP。

距离u是“量子”定义的1/2； b-a 处于比 a 更小的指数子范围内，并且其最后一个有效位置是 x 的一半。

适用性

定义也不同，因为两者都适用于浮点值，但不适用于具有 real 值（如 1/7、√2、π）的量子。 @Eric Postpischil

两个 OP 函数在某些情况下都是错误的。

x per John Harrison，当 ulp() 是 2 的幂、零或次正态时是错误的。
替代

当 #include <math.h> // Using the convention ULP(x) == ULP(-x) // Adjust if you want a signed result. double ulp_JH(double x) { x = fabs(x); if (isfinite(x)) { double lower = nextafter(x,-1.0); // 1st FP number smaller than x return x - lower; } return x; // NAN,infinity } 为零或次正常时，OP 的 quantum() 有问题。

¹ 除了 double quantum_alt(double x) { x = fabs(x); if (x < DBL_MAX) { double higher = nextafter(x,DBL_MAX); // 1st FP number larger than x return higher - x; } if (isfinite(x)) { double lower = nextafter(x,0.0); // Special case for DBL_MAX return x - lower; } return x; // NAN,infinity }。在这种情况下。 x == DBL_TRUE_MIN 是 ULP(DBL_TRUE_MIN)。

floating-point ieee-754