问题描述
我试图绘制一个带电粒子围绕 Reissner-nordström 黑洞（带电黑洞）的轨道。 我有三个二阶微分方程和 3 个一阶微分方程。由于问题的性质，每个导数都是根据适当的时间而不是时间 t。运动方程如下。
2 first order differential equation second order differential equations
3 second order differential equations
我正在使用四阶 Runge Kutta 方法来整合轨道。我的困惑，以及我最有可能犯错误的地方来自这样一个事实，即通常当您有一个二阶耦合微分方程时，您会将其简化为 2 个一阶微分方程。然而，在我的问题中，我得到了 3 个一阶微分方程及其相应的二阶微分方程。我假设因为我得到了这些一阶方程，所以我根本不需要减少二阶方程。事实上，这些方程是非线性的，这让事情变得更加复杂。
我确信我可以使用 Runge kutta 来解决这些问题，但是我不确定我对运动方程的实现。当我运行代码时，我得到一个错误，即负数在 F2 的平方根下，但是这不应该是这种情况，因为 F2 应该正好等于零（无疑是 F1 引起的精度问题）。然而，即使我在 F1、F2、F3 的平方根下取一切的绝对值......我的角动量 L 和能量 E 并不守恒。我主要希望有人评论我在 Runge kutta 循环中使用微分方程的方式，并告诉我应该如何减少二阶微分方程。
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math as math
#=============================================================================
h=1
M = 1 #Mass of RN blackhole
r = 3*M #intital radius of particle from black hole
Q = 0 #charge of particle
r_s = 2*M #Shwar radius
S = 0 # intial condition for RK4
V = .5 # Initial total veLocity of particle
B = np.pi/2 #angle of initial veLocity
V_p = V*np.cos(B) #parrallel veLocity
V_t = V*np.sin(B) #tansverse veLocity
t = 0
Theta = 0
E = np.sqrt(Q**2-2*r*M+r**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
L = V_t*r/(np.sqrt(1-V**2))
r_dot = V_P*np.sqrt(r**2-2*M+Q**2)/(r*np.sqrt(1-V**2))
Theta_dot = V_t/(r*np.sqrt(1-V**2))
t_dot = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2)
#=============================================================================
while(r>2*M and r<10*M): #Runge kutta while loop
A1 = 2*(Q**2-M*r) * r_dot*t_dot / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines T double dot fro first RK4 step
B1 = -2*Theta_dot*r_dot / r #defines theta double dot for first RK4 step
C1 = (r-2*M*r+Q**2)*(Q**2-M*r)*t_dot**2 / r**5 + (M*r-Q**2)*r_dot**2 / (r**2-2*M*r+Q**2) #defines r double dot for first RK4 step
D1 = E*r**2/(r**2-2*M*r+Q**2) #defines T dot for first RK4 step
E1 = L/r**2 #defines theta dot for first RK4 step
F1 = math.sqrt(-(1-r_s/r+Q**2/r**2) * (1-(1-r_s/r+Q**2/r**2)*D1**2 + r**2*E1**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot_1 = t_dot + (h/2) * A1
Theta_dot_1 = Theta_dot + (h/2) * B1
r_dot_1 = r_dot + (h/2) * C1
t_1 = t + (h/2) * D1
Theta_1 = Theta + (h/2) * E1
r_1 = r + (h/2) * F1
S_1 = S + (h/2)
A2 = 2*(Q**2-M*r_1) * r_dot_1*t_dot_1 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
B2 = -2*Theta_dot_1*r_dot_1 / r_1
C2 = (r_1-2*M*r_1+Q**2)*(Q**2-M*r_1)*t_dot_1**2 / r_1**5 + (M*r_1-Q**2)*r_dot_1**2 / (r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
D2 = E*r_1**2/(r_1**2-2*M*r_1+Q**2)
E2 = L/r_1**2
F2 = np.sqrt(-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2) * (1-(1-r_s/r_1+Q**2/r_1**2)*D2**2 + r_1**2*E2**2))
t_dot_2 = t_dot + (h/2) * A2
Theta_dot_2 = Theta_dot + (h/2) * B2
r_dot_2 = r_dot + (h/2) * C2
t_2 = t + (h/2) * D2
Theta_2 = Theta + (h/2) * E2
r_2 = r + (h/2) * F2
S_2 = S + (h/2)
A3 = 2*(Q**2-M*r_2) * r_dot_2*t_dot_2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
B3 = -2*Theta_dot_2*r_dot_2 / r_2
C3 = (r_2-2*M*r_2+Q**2)*(Q**2-M*r_2)*t_dot_2**2 / r_2**5 + (M*r_2-Q**2)*r_dot_2**2 / (r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
D3 = E*r_2**2/(r_2**2-2*M*r_2+Q**2)
E3 = L/r_2**2
F3 = np.sqrt(-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2) * (1-(1-r_s/r_2+Q**2/r_2**2)*D3**2 + r_2**2*E3**2))
t_dot_3 = t_dot + (h/2) * A3
Theta_dot_3 = Theta_dot + (h/2) * B3
r_dot_3 = r_dot + (h/2) * C3
t_3 = t + (h/2) * D3
Theta_3 = Theta + (h/2) * E3
r_3 = r + (h/2) * F3
S_3 = S + (h/2)
A4 = 2*(Q**2-M*r_3) * r_dot_3*t_dot_3 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
B4 = -2*Theta_dot_3*r_dot_3 / r_3
C4 = (r_3-2*M*r_3+Q**2)*(Q**2-M*r_3)*t_dot_3**2 / r_3**5 + (M*r_3-Q**2)*r_dot_3**2 / (r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
D4 = E*r_3**2/(r_3**2-2*M*r_3+Q**2)
E4 = L/r_3**2
F4 = np.sqrt(-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2) * (1-(1-r_s/r_3+Q**2/r_3**2)*D3**2 + r_3**2*E3**2)) #defines r dot for first RK4 step
t_dot = t_dot + (h/6.0) * (A1+(2.*A2)+(2.0*A3) + A4)
Theta_dot = Theta_dot + (h/6.0) * (B1+(2.*B2)+(2.0*B3) + B4)
r_dot = r_dot + (h/6.0) * (C1+(2.*C2)+(2.0*C3) + C4)
t = t + (h/6.0) * (D1+(2.*D2)+(2.0*D3) + D4)
Theta = Theta + (h/6.0) * (E1+(2.*E2)+(2.0*E3) + E4)
r = r + (h/6.0) * (F1+(2.*F2)+(2.0*F3) + F4)
S = S+h
print(L,r**2*Theta_dot)
plt.axes(projection = 'polar')
plt.polar(Theta,r,'g.')
解决方法
采用您提供的三个二阶微分方程。这些是按适当时间参数化的测地线方程。然而，您的原始度量是旋转不变的（即 SO(3) 不变），因此它具有一组简单的守恒定律，加上度量的守恒（即适当时间的守恒）。这意味着 t 和 theta 的二阶微分方程可以被积分一次，导致一组 t 和 theta 的两个一阶微分方程和一秒r 的阶微分方程：
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( (r**2-2*M*r + Q**2)*(Q**2 - M*r)/r**5) * (dt/ds)**2
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
您可以在这里采用不同的方法，其中之一是通过将上面的前两个方程代入在轨迹上评估的度量相等的方程来推导 r 的一阶微分运动方程到 1. 但你也可以直接到这里把 dt/ds 方程的右边代入 r 的第三个方程，将系统表示为
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
d**2r/ds**2 = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * (dr/ds)**2
为了避免使用平方根和复杂性（平方根也是昂贵的计算，而有理函数是简单的快速代数计算），定义四个一阶微分方程的等效系统
dt/ds = c_0 * r**2 / (r**2 - 2*M*r + Q**2)
dtheta/ds = c_1 / r**2
dr/ds = u
du/ds = ( c_0**2*(Q**2 - M*r)/(r*(r**2-2*M*r + Q**2)))
+ ( (M*r - Q**2) /(r**2 - 2*M*r + Q**2) ) * u**2
借助 t,theta,r 及其导数 dt/dt,dtheta/dt,dr/dt 的初始条件，您可以计算第一个和第二个方程中使用的常数 c_0 和 c_1，然后计算u = dr/dt 的初始条件。