问题描述
鉴于以下输入 numpy 二维数组 A
可以通过文件 hill_mat.npy
使用 following link 检索,如果我只能计算其特征值的一个子集就好了使用像 scipy.sparse.linalg.eigs 这样的迭代求解器。
首先,介绍一下上下文。该矩阵 A
来自大小为 N
的二次特征值问题,该问题已在双倍大小 2*N
的等效特征值问题中线性化。 A
具有以下结构(蓝色为零):
plt.imshow(np.where(A > 1e-15,1.,0),interpolation='None')
以及以下功能:
A shape = (748,748)
A dtype = float64
A sparsity ratio = 77.64841716949297 %
A
的真实尺寸比这个可重现的小例子大得多。对于这种情况,我希望实际稀疏率和形状接近 95%
和 (5508,5508)
。
A
的结果特征值是 complex(以复共轭对的形式出现),我对 最小虚部 更感兴趣模数。
问题:使用直接求解器时:
w_dense = np.linalg.eigvals(A)
idx = np.argsort(abs(w_dense.imag))
w_dense = w_dense[idx]
计算时间很快变得令人望而却步。因此,我希望使用稀疏算法:
from scipy.sparse import csc_matrix,linalg as sla
w_sparse = sla.eigs(A,k=100,sigma=0+0j,which='SI',return_eigenvectors=False)
但似乎 ARPACK 没有通过这种方式找到任何特征值。从 scipy/arpack tutorial 中,当寻找像 which = 'SI'
这样的小特征值时,应该通过指定 sigma
kwarg,ie 来使用所谓的 shift-invert 模式让算法知道在哪里可以找到这些特征值。尽管如此,我所有的尝试都没有产生任何结果......
有没有对这个功能更有经验的人帮我完成这项工作?
以下是完整的代码片段:
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.sparse import csc_matrix,linalg as sla
A = np.load('hill_mat.npy')
print('A shape =',A.shape)
print('A dtype =',A.dtype)
print('A sparsity ratio =',(np.product(A.shape) - np.count_nonzero(A)) / np.product(A.shape) *100,'%')
# quick look at the structure of A
plt.imshow(np.where(A > 1e-15,interpolation='None')
# direct
w_dense = np.linalg.eigvals(A)
idx = np.argsort(abs(w_dense.imag))
w_dense = w_dense[idx]
# sparse
w_sparse = sla.eigs(csc_matrix(A),return_eigenvectors=False)
解决方法
问题终于解决了,我想我应该更仔细地阅读文档,但是,以下内容非常违反直觉,我认为可以更好地强调:
... ARPACK 包含一种模式,可以快速确定
非外部特征值:移位反转模式。如上所述,这
模式涉及将特征值问题转换为等价的
不同特征值的问题。在这种情况下,我们希望找到
特征值接近于零,因此我们将选择 sigma = 0
。被改造的
特征值将满足 ,所以我们的小特征值
变大
特征值。
这样,在寻找小的特征值时,为了帮助 LAPACK 完成工作,应该通过指定适当的 sigma
值来激活 shift-invert 模式,同时还反转 {{ 中指定的所需指定子集1}} 关键字参数。
因此,这只是一个执行的问题:
which
因此,我只能希望这个错误对其他人有帮助:)