问题描述
双曲面有公式
-x^2/a^2 - y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1。
如何在 Python 中从这个双曲面生成样本？ （比如说，a=b=c=1。）
我想在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填写 z 值，使公式等于 1。但是这不会均匀采样。有没有更好的办法？
解决方法
这只是部分答案。
J.F. Williamson，“随机选择分布在曲面上的点”，医学与生物物理学 32(10)，1987 年，描述了在参数曲面上选择均匀随机点的一般方法。它是一种接受/拒绝方法，根据其拉伸因子（梯度范数）接受或拒绝每个候选点。要将这种方法用于参数曲面，必须了解有关曲面的几件事，即——
x(u,v)、y(u,v)和z(u,v)，它们是从二维坐标u和v生成三维坐标的函数，-
u和v的范围， -
g(point)，表面上每个点的梯度范数（“拉伸因子”），以及 -
gmax，整个表面g的最大值。
算法为：
- 在曲面上生成一个点，
xyz。 - 如果
g(xyz) >= RNDU01()*gmax，其中RNDU01()是 [0,1) 中的统一随机数，接受该点。否则，重复此过程。
对于参数为 a=b=c=1 的双曲面：
- 梯度为
[2*x,-2*y,2*z]。 - 梯度范数的最大值为：
2*sqrt(3)，如果x、y和z都在区间[0,1]内。立>
剩下的就是将隐式公式转化为二维坐标u和v的函数的参数方程。我知道这个算法适用于参数化曲面，但我不知道如果我们在步骤 1 中“在 [0,1] 中随机选择 x 和 y，然后填写使公式相等的 z 值”，它是否仍然有效.