问题描述
假设我有一条贝塞尔曲线，有两个固定端点，一个在 x(0),y(1)，一个在 x(1),y(0)（左下角和右上角）
现在假设我有两个控制点，它们可以位于 x(0)、x(1)、y(0) 和 y(1) 之间的任何位置。对于这个问题，我只会说控制点 #1 在 x(0.1) y(0.6) 处，控制点 #2 在 x(0.9) 和 y(0.4) 处。 （这里假设一个“从左上角”坐标系）
这是我们曲线的小图：
现在假设我的 y 位置为 0.7。计算出对应的 x 位置到 y(0.7) 点的数学公式是什么？我该怎么做？
抱歉，如果这个问题不属于这里，但我认为这是编码中面临的一个常见问题，而且你们中的许多人可能都有我正在寻找的答案。
解决方法
您有函数 X(t) 和 Y(t) 的三次方程，其中 t 是曲线参数（曲线上的点的范围 0..1）。在伯恩斯坦多项式基础（曲线定义的常用形式）中：
X(t) = P0.X*(1-t)^3+3*P1.X*(1-t)^2*t+3*P2.X*(1-t)*t^2+P3.X*t^3
Y(t) = P0.Y*(1-t)^3+3*P1.Y*(1-t)^2*t+3*P2.Y*(1-t)*t^2+P3.Y*t^3
有了 Y 值，我们可以找到相应的 t 参数 - 注意在 0..1 范围内可能有 0 到 3 个可能的根。以幂为基础的 Y 分量的表示：
Y(t) = P0.Y*(1-t)^3+3*P1.Y*(1-t)^2*t+3*P2.Y*(1-t)*t^2+P3.Y*t^3 =
t^3*(P3Y-3P2Y+3P1Y-P0Y) + t^2*(3P2Y-6P1Y+3P0Y) + t^2*(3P1Y-3P0Y) + (P0Y) =
t^3*a + t^2*b + t^2*c + d' = y_position
最后三次方程是：
t^3*a + t^2*b + t^2*c + d = 0
where
a = P3.Y-3*P2.Y+3*P1.Y-P0.Y
b = 3*P2.Y-6*P1.Y+3*P0.Y
c = 3*P1.Y-3*P0.Y
d = P0.Y - y_position
求解cubic equation以计算t（可能是波浪曲线的一些值）
然后对于给定的 t 计算对应的 X 值：
X(t) = P0.X*(1-t)^3+3*P1.X*(1-t)^2*t+3*P2.X*(1-t)*t^2+P3.X*t^3