枚举等价类

问题描述

我所拥有的：集合 {1,...,n} 上的等价关系，作为等价对 (a,b) 的完整列表给出（这已经是可传递的；无需计算传递闭包）。 n 很大（比如最多几百万）；等价对的总数最多为 O(n)（通常要少得多），并且个别等价类很小（我没有这方面的数字，但说 O(log n)）。

我想要的是：一种单独枚举所有等价类的方法，即依次获取每个等价类的完整元素集合；复杂度至多 O~(n)（在我的代码中执行的所有其他计算都是 O(n log(n))，如果可能的话，我绝对不想想在那个大小上做任何二次方）。 >

使用 union-find structure 将有助于构建传递闭包（我不需要），但我相信，不会有助于构建等价类。我还可以轻松计算（例如）每个类中的最小代表（只需扫描完整的等价关系直到找到它），甚至将所有这些都及时存储在 O(n)（构建 1...n 的身份向量）然后扫描完整的等价关系，如果可能，用最小值替换）；然而，这对枚举等价类也没有多大帮助。

这个问题有经典的解决方案吗？

解决方法

您可以将其视为图形搜索问题。你得到了一个构成图的所有边的列表，你想找到它的连接组件。如果你有一个图的邻接表，这可以在 O(n) 时间内使用 DFS 或 BFS 来完成，因为有 n 个节点和 O(n) 条总边。

幸运的是，你可以在 O(n) 时间内构造一个邻接表。在 O(n) 时间内创建一个包含 n 个列表的数组。然后，遍历边，对于每条边 (a,b)，将 b 附加到列表编号 a。

总的来说，这可以让您在 O(n) 时间内找到所有等价类（连接组件）。即使关系不是可传递的，这也有效。