问题描述
问题是
正则文法G的生成规则是
S → 0A | 1B | ε,A → 1B | ε,B → 0A |ε,将 L(G) 表示为正则表达式。
我的解决方法如下。
S = 0A + 1B+ ε
A = 1B + ε
B = 0A + ε
然后
S = 0(1B + ε) + 1(0A + ε) = 1(0A + 0B + ε) + 0ε + ε
这里我不知道如何简化表达式了。在这方面的任何帮助将不胜感激。
解决方法
我们首先写一些方程：
S = 0A + 1B + e
A = 1B + e
B = 0A + e
我们可以通过替换来消除B：
S = 0A + 1(0A + e)+ e = 0A + 10A + 1 + e
A = 1(0A + e)+ e = 10A + 1 + e
B = 0A + e
我们现在可以消除 A 中的递归：
S = (0 + 10)A + 1 + e
A = (10)*(1 + e)
B = 0A + e
现在我们可以通过替换来消除A：
S = (0 + 10)(10)*(1 + e) + 1 + e
A = (10)*(1 + e)
B = 0(10)*(1 + e) + e
我们可以通过观察常见的 1 + e 项，进行因式分解，然后注意到 + 10 项不添加任何内容，从而稍微简化 S 的表达式：
S = (0 + 10)(10)*(1 + e) + 1 + e
= [(0 + 10)(10)* + e](1 + e)
= (0 + e)(10)*(1 + e)
这似乎是 {0,1} 上既不包含 00 也不包含 11 的所有字符串的语言。为了证明这一点，我们可以证明正则表达式生成所有这样的字符串，并且它只生成这样的字符串。
表达式生成的任何字符串都是三个字符串的串联：第一个不能以 1 结尾，最后一个不能以 0 开头，中间既不能以 0 开头也不能以 1 结尾。因此，字符串 00 和 11不能在边界处形成。很明显，这三者都不能包含 00 或 11。因此，表达式生成的任何内容都既没有 00 也没有 11。
可以生成任何没有 00 或 11 的字符串。假设一些这样的字符串以 x 开头，长度为 n。
如果 n > 0 且 x = 0，则表达式从第一部分中选择 0，10 次等于 n 减一，数量超过 2 次；然后，当且仅当 n 为偶数时，它从第三部分中选择 1。
如果 n > 0 且 x = 1，则表达式选择 e 作为第一部分，取 10 次等于 n 减 1，数量超过 2 次，然后当且仅当第三部分选择 1如果 n 是奇数。
如果 n = 0，则表达式的第一部分和第三部分都选择空字符串，并取 10 次零次。
在所有三种情况下，正则表达式都能够生成字符串。因为表达式生成我们语言中的所有字符串并且只生成字符串，所以它是我们描述的语言的正则表达式。