在coq中证明定理时如何处理“false = true”命题

问题描述

我是 coq 的新手并试图证明这个定理

Inductive expression : Type :=
  | Var (n : nat)
.
.

Theorem variable_equality : forall x : nat,forall n : nat,((equals x n) = true) -> (Var x = Var n).

这是等号的定义


Fixpoint equals (n1 : nat) (n2 : nat) :=
  match (n1,n2) with
    | (O,O)      => true
    | (O,S n)    => false
    | (S n,O)    => false
    | (S n,S n') => equals n n'
  end.

这是我目前的解决方案

Proof.
intros x n. induction x as [| x' IH].
  - destruct n. 
    + reflexivity.
    + simpl. intro.

我最终得到了这样的东西

1 subgoal 
n : nat
H : false = true
-------------------------
Var 0 = Var (S n)

我明白这个输出意味着如果定理必须是正确的，那么命题“Var 0 = Var (S n)”应该遵循命题“false = true”，但我不知道该怎么做它并继续我的证明。任何帮助将不胜感激。

提前致谢！

解决方法

另一种选择：使用 inversion 代替 congruence：

Goal false=true -> False.
  congruence.
Qed.

这种策略致力于利用构造函数的不相交性。

在以下假设中使用 inversion：

Goal false=true -> False.
intros H.
inversion H.
Qed.

另一种选择，discriminate，这是针对此类目标的专用策略：它应该完全解决此类问题（即假设中不同构造函数的相等性），仅此而已。

Goal false = true -> False.
discriminate.
Qed.

另外，它是一个终结者，这意味着如果目标在使用后没有解决，它就会失败，与在某些情况下会成功的inversion和congruence相反他们没有解决预期的问题并以“意外”的方式取得成功。

例如

Goal true = true -> True.
inversion 1.
Qed.

和

Goal true = true -> S 1 = S 1.
congruence.
Qed.

就个人而言，我将 ssreflect 中的 by []（也是一个终结符）用于此类目标和所有此类“琐碎”目标：

Require Import ssreflect.

Goal false = true -> False.
by [].
Qed.

coq proof theorem