问题描述
我必须进行一项挑战,该挑战涉及详细阐述计算帕累托(集合)边界的算法。声明基本上是:
给定正方形[0,1] x [0,1]中n个点的集合S,做一个算法来确定S中包含的子集P,由S的非支配点组成。
也有人说,可以很容易地详细说明实现此目的的n*n 点比较顺序的算法。好吧,我通过在这里和那里的研究提出了一个算法。挑战仍然是实现 n*log(n) 阶的算法。我如何获得这些算法的顺序?
提前致谢!
#data
set.seed(103)
x = runif(200)
y = runif(200)
#algorithm
pareto = 1:length(x)
for(i in 1:length(x)){
cond1 = y[i]!=min(y[which(x==x[i])])
cond2 = x[i]!=min(x[which(y==y[i])])
for(k in 1:length(x)){
if((x[i]>x[k] & y[i]>y[k]) | (x[i]==x[k] & cond1) | (y[i]==y[k] & cond2)){
pareto[i] = NA
break
}
}
}
xPareto = x[pareto[!is.na(pareto)]]
yPareto = y[pareto[!is.na(pareto)]]
#graphic:
plot(x,y)
points(xPareto,yPareto,col=2,pch=16)
dat = data.frame(x=xPareto,y=yPareto)
dat = dat[order(dat$x),]
for(i in 1:(nrow(dat)-1)){
segments(dat$x[i],dat$y[i],dat$x[i+1],dat$y[i+1],lty=2)
}
解决方法
这个问题的有效贪婪解决方案背后的直觉在于,点i
被点j
iff x[i] > x[j]
and {{ 1}},这意味着当点按任一坐标排序时,y[i] > y[j]
必须在 j
之前。因此,如果我们按照 x 坐标的递增顺序遍历这些点,那么支配点 i
的点 j
(如果有)必须在点{之前被遍历{1}} 被遍历。换句话说,在这个排序中,支配点 i
不可能出现在支配点 i
之后。
因此,通过这种遍历顺序,支配问题(即检查一个点是否被其他点支配)归结为检查我们是否已经看到了一个具有较低 y 坐标的点,因为遍历顺序已经强制执行了 x - 坐标条件。这可以通过检查每个点的 y 坐标到我们迄今为止看到的最低(最小)y 坐标来轻松完成——如果最小 y 坐标小于当前点 j
的 y 坐标那么具有最小 y 坐标的点 i
作为 i
支配 j
,因为 i
在 x[j] < x[i]
之前被看到。
按 x 坐标排序需要 j
时间,检查每个点(同时保持部分最小 y 坐标)需要 i
时间,使得整个算法需要 O(n log n)
时间。
O(n)