ixmap、Array、逆变函子有什么关系？

问题描述

tl;博士

鉴于 ixmap 的签名和 contramap 的签名之间的相似性，我想了解 Array i e 的第一个类型参数是否是逆变函子，或者至少，从范畴论的角度来看，这两件事是如何相互关联的。

更长的润滑

在Chapter 12 from Real World Haskell的末尾，使用了函数ixmap。

基于其签名

ixmap :: (Ix i,Ix j) => (i,i) -> (i -> j) -> Array j e -> Array i e

我不禁注意到，一旦我们将其部分应用于第一个参数，例如为了简单起见，我们传递给它 (1 :: Int,1 :: Int)，它的签名变成

ixmap (1 :: Int,1 :: Int) :: Ix j => (Int -> j) -> Array j e -> Array Int e

与contramap的签名有些相似：

contramap :: (a' -> a) -> f a -> f a'

甚至更多，因为它专门针对 Op：

contramap :: (a' -> a0) -> Op a a0 -> Op a a'

毕竟，我认为 Array j e 类型可以看作是将 j 类型的子集映射到 e 类型的函数的类型，有点像 {{1} } 带有“受限”j -> a。因此，就像 j 是 b -> a 中的 Functor 并且 a 被定义为使其成为 Op a b 中的逆变函子一样，我想我可以类似地定义：

b

并为其编写一个 newtype Array' e i = Array' { arr :: Array i e } 实例：

Contravariant

令我不安的是，我不能真正将部分应用的 instance Contravariant (Array' e) where contramap f a = undefined -- ??? 用于 ixmap，因为 (1) 我所做的部分应用它？并且 (2) 这样做会阻止 contramap 类型（例如，在我的示例中为 i）。

我什至想不出让 Int 从另外两个参数 contrampa 和 (i,i) 中重试所需的 f :: (i -> j) 类型对象的方法，因为我没有从 a :: Array j e 到 j 的函数。

解决方法

Array 是一个 profunctor，从索引重映射函数类别到普通 Hask 类别（以 Haskell 函数为态射的无约束 Haskell 类型）。

有一个相当普遍的 class for profunctors Hask → Hask，但它无法表达 Ix 约束。不过，这很容易在 constrained-categories 框架中表达^†：

class (Category r,Category t) => Profunctor p r t where
  dimap :: (Object r a,Object r b,Object t c,Object t d)
     => r a b -> t c d -> p b c -> p a d

现在，要实际将其与 Array 一起使用，我们需要将允许的索引范围提升到类型级别。 IE。而不是使用 Int 作为索引类型 - 这有点不安全，因为它允许索引超出范围......我们显然不能在类别理论设置中使用它！ – 我们只使用一种具有允许范围的类型。而不是实际将其黑入 Array，让我使用 Vector（它根本不打扰提供不同的索引类型）作为低-级别表示：

{-# LANGUAGE DataKinds,TypeFamilies,AllowAmbiguousTypes,TypeApplications,ScopedTypeVariables,UnicodeSyntax #-}

import GHC.TypeLits (Nat,natVal)
import Data.Vector (Vector)
import qualified Data.Vector as V

newtype Range (lb :: Nat) (ub :: Nat)
     = Range { getIndexInRange :: Int -- from 0 to ub-lb-1
             }

newtype SafeArray i a = SafeArray {
    getFlattenedArray :: Vector a  -- length must equal `rangeLength @i`
  }

class ToLinearIndex r where
  rangeLength :: Int
  toLinearIndex :: r -> Int

instance ∀ lb ub . ToLinearIndex (Range lb ub) where
  rangeLength = fromInteger $ natVal @rb [] - natVal @lb []
  toLinearIndex = getIndexInRange
instance ∀ rx ry . (ToLinearIndex rx,ToLinearIndex ry)
     => ToLinearIndex (rx,ry) where
  rangeLength = rangeLength @rx * rangeLength @ry
  toLinearIndex (ix,iy)
      = toLinearIndex ix + rangeLength @rx * toLinearIndex iy

(!) :: ToLinearIndex i => SafeArray i a -> i -> a
SafeArray v ! i = V.unsafeIndex v $ toLinearIndex i

newtype IxMapFn r s = IxMapFn {
   getIxMapFn :: Int -> Int  -- input and output must be <rangeLength
                             -- of `r` and `s`,respectively
  }

instance Category IxMapFn where
  type Object IxMapFn i = ToLinearIndex i
  id = IxMapFn id
  IxMapFn f . IxMapFn g = IxMapFn $ f . g

saDiMap :: ∀ r s a b . (ToLinearIndex r,ToLinearIndex s)
      => IxMapFn s r -> (a -> b) -> SafeArray r a -> SafeArray s b
saDiMap (IxMapFn f) g (SafeArray v)
    = SafeArray . V.generate (rangeLength @s)
       $ g . V.unsafeIndex v . f

instance Profunctor SafeArray IxMapFn (->) where
  dimap = saDimMap

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^†_{我从来没有考虑给 constrained-categories 添加一个 profunctor 类，主要是因为我认为 profunctor 在 Haskell 中有点被滥用了：通常当人们使用内profunctors，他们实际上想表达的只是一个类别/Arrow。}