查找包含来自总体 A 的最大元素和来自总体 B 的零元素的标量区间

问题描述

给定两个大集合 A 和 B 的标量（浮点）值，您将使用什么算法来查找包含来自 B 的零元素和来自 A 的最大元素数的（标量）范围 [x0,x1]？

排序复杂度 (O(n log n)) 是否不可避免？

解决方法

创建一个包含所有值的列表，其中每个值都标有两个计数：一个计数与集合 A 相关，另一个与集合 B 相关。最初这些计数为 1 和 0，当值来自集合时A，当值来自集合 B 时为 0 和 1。因此此列表中的条目可以是元组（值、计数A、计数B）。这个操作是 O(n)。

对这些元组进行排序。 O(nlogn)

将有重复值的元组合并为一个元组，并在对应的计数器中累加值，让元组告诉我们该值在集合A中出现了多少次，在集合B中出现了多少次。O(n)>

按排序顺序遍历此列表，并维护一系列相邻元组的 countA 的最大计数总和，其中 countB 始终为 0，以及该范围的最小值和最大值。 O(n)

排序是时间复杂度的决定因素：O(nlogn)。

,

在 O(|A| log |A| + |B| log |B|) 中对 A 和 B 进行排序。然后应用以下算法，其复杂度为 O(|A| + |B|)：

i = j = k = 0
best_interval = (0,1)

while i < len(B) - 1:
    lo = B[i]
    hi = B[i+1]
    
    j = k    # We can skip ahead from last iteration.
    while j < len(A) and A[j] <= lo:
        j += 1

    k = j   # We can skip ahead from the above loop.
    while k < len(A) and A[k] < hi:
        k += 1

    if k - j > best_interval[1] - best_interval[0]:
        best_interval = (j,k)
    
    i += 1

x0 = A[best_interval[0]]
x1 = A[best_interval[1]-1]

第一次检查时它可能看起来是二次的，但请注意我们从未减少 j 和 k - 它实际上只是一个带有三个指针的线性扫描。