问题描述
我正在尝试在不支持 128 位整数的系统上找到一种在 C 中使用 uint64_t 实现 EEA 的方法。问题是，似乎总有某个变量或其他变量溢出的情况，从而产生不正确的结果。
我知道它可以用 /signed/ 机器字完成，这里和其他地方有很多答案提供了伪代码。可以在无符号且无溢出的情况下完成吗？或者您是否需要更大的整数大小？
解决方法
欧几里得算法中的系数在符号上交替（在初始零点消失之后），因此我们可以仅使用幅度来计算它们，并在最后从迭代奇偶校验重建符号。
扩展欧几里得算法求正相对素数u和v的乘法逆a和b相对于彼此。也就是说，我们找到 a 和 b 使得 a•u 与 1 modulo v 一致 和 b•v 与 1 模 u 一致。我们从两个等式开始：
- u = 1•u + 0•v。
- v = 0•u + 1•v。
那么算法是：
- 设 x 和 y 是最新两个方程的左边（y 是最新的）。
- 如果 y 为 1，我们就完成了。右侧u和v的系数分别是u和v的倒数。立>
- 否则，让 q 为 x 除以 y 的整数商。附加一个新方程，该方程等于第一个方程减去第二个方程乘以 q。
这实现了等式左边的欧几里得算法，所以我们知道对于相对质数 u 和 v，它以 1 终止。那么最后一个方程的形式为：
- 1 = a•u + b•v。
在这里，很明显a是u模v的乘法逆，b是一个b 模 u 的乘法逆。
观察到，在第三个方程中，u 的系数将为 1−0•q。因此，它将是积极的。而 v 的系数将为 0−1•q。因此，它将是负面的。在第四个方程中，u 的系数将为正。从那时起，我们总是从正数中减去负数或从负数中减去正数，因此我们交替使用符号。
在第n个方程中，如果n是奇数，则u的系数是非负的，如果是非正的n 是偶数，反之亦然 v 的系数。
因此，我们可以通过仅保留系数的大小来使用无符号算术来实现这一点：
- 给定已知非负系数的幅度 g 和已知非正系数的幅度 h，计算新的幅度为 g +h•q。
- 给定已知非正系数的幅度 g 和已知非负系数的幅度 h，计算新的幅度为 g +h•q。
13 和 10 的示例：
- 13 = 1•13 + 0•10。
- 10 = 0•13 + 1•10。
- 13/10 的商是 1。计算 13−1•10 = 3,1+0•1 = 1,0+1•1 = 1。这给出：
- 3 = 1•13 − 1•10。 （符号是隐式已知的，而不是计算出来的。）
- 10/3 的商是 3。计算 10−3•3 = 1,0+1•3 = 3,1+1•3 = 4。这给出：
- 1 = −3•13 + 4•10。
此时，我们用来保存u (13) 系数的任何变量都包含 3，但我们知道它是负数，因为我们处于偶数迭代（第四次）。所以 u 的倒数是 -3。如果需要，我们可以添加 u（计算为 u 减去存储的幅度）以获得正结果。
我已经证明这些计算永远不会超过 u 的系数的 v 或 v 的系数的 u > 但无法获得该证明。 （它嵌入在前任雇主的源代码中。）