scipy lognorm中部分期望的公式

问题描述

我刚刚尝试将对数正态分布的 scipy 输出与 wikipedia 上的公式相匹配。

我被困在具有下限的部分期望上。

如果我使用这个简单的对数正态分布：

k = .25
sigma = .5
mu = .1 # from the logged variable
lnorm = scist.lognorm(s=sigma,scale=np.exp(mu))

其中 k 是下限，

根据我的理解，部分期望由以下公式给出：

好的。所以我们只是在谈论对数正态分布的平均值和带有 z 分数的 CDF。 scipy 提供部分

lnorm.expect(lambda x:x,lb=k)
>>> 1.25199...

事实上，我们可以通过检查条件期望来确认这是部分。直接计算或使用上面的部分会产生相同的结果：

 lnorm.expect(lambda x:x,lb=k) / (1 - lnorm.cdf(k))
 >>> 1.25385... 
 lnorm.expect(lambda x:x,lb=k,conditional=True)
 >>> 1.25385...

但是，scipy 的 cdf 函数采用 x 变量，而不是 z-score，我不确定如何转换它：

转化为 x 值。我尝试了很多不同的口味。

我会想：

可以解决当 scipy 的 cdf（大概）在内部计算 z-score 时必须发生的 mu 减法。

我使用的任何公式最终都会得到一个非常小的值或 0。

任何帮助将不胜感激。

解决方法

IIUC，您可以简单地计算 (mu+sigma^2-ln(k))/2 中正态分布 N(0,1) 的 CDF，即

import numpy as np
import scipy.stats as sps

def partial_expectation(mu,sigma,k):
    """
    Returns partial expectation given
    mean,standard deviation and k.
    
    https://en.wikipedia.org/wiki/Log-normal_distribution
    """
    # compute cumulative density function
    # of Normal distribution N(0,1) in x=x_phi
    x_phi = (mu + sigma**2 - np.log(k))/sigma
    phi = sps.norm.cdf(x_phi,loc=0,scale=1)
    # mean of lognormal
    lognorm_mu = np.exp(mu + .5*(sigma**2))
    # result
    return lognorm_mu * phi

k = .25
sigma = .5
mu = .1 # from the logged variable
lnorm = sps.lognorm(s=sigma,scale=np.exp(mu))

print('from def:',partial_expectation(mu,k))
print('from sps:',lnorm.expect(lb=k))

from def: 1.251999952174895
from sps: 1.2519999521748952