为什么时域欠采样信号的 N 点 FFT 比时域信号的 N 点 FFT 差未重新采样

问题描述

我试图了解当我尝试用较少的样本重建信号频谱时会发生什么。我尝试了两种方法。我根据我需要的样本数 (N) 重新采样时域信号，然后进行 FFT。在第二种方法中，我只是做了一个 N 点 FFT，其中，正如 MATLAB 所说，N 之后的样本被忽略。令人惊讶的是，第二种方法给出了很好的结果。我不明白为什么。对于ground truth，我使用高斯形频谱模拟时域信号。

我的 MATLAB 程序如下。您可以更改 N 的值并查看结果。您也可以更改重采样信号情况的插值方法。我做了所有类型的检查，我认为 N 点 FFT 表现更好。然而，人们会认为当应用 FFT 时，重新采样的信号应该表现得更好。

clear;
close all;
% Simulation of ground truth
n = 512;

[sig_a,sig_f] = DS_simulator(10^(Inf/20),1,5,0.2,n,7.5); % sig_a is the time domain signal with 512 points and sig_f is the Gaussian spectrum from which sig is derived



figure; plot((abs(sig_f).^2)); % Original spectrum 



%% Analysis


N = 256; %Number of fft points

idx = 1:n;
idxq = linspace(min(idx),max(idx),N);
sig_resampled = interp1(idx,sig_a,idxq,'cubic'); % resampling the signal

figure; plot(1:1:n,abs(sig_a)); hold on; plot(1:n/N:n,abs(sig_resampled),'*'); % signal and resampled signal


sig_resamp_doppler = 1/N .* abs(fftshift(fft(sig_resampled,N))).^2; % FFT of resampled signal
sig_doppler = 1/N .* abs(fftshift(fft(sig_a,N))).^2; % FFT of original signal



figure; plot(abs(sig_doppler)); hold on;  plot(abs(sig_resamp_doppler)); % Reconstructed spectrum 

ground truth 信号生成的代码，其频谱为高斯形状，均值为 mu，标准差为 sigma

function [data,data_f] = DS_simulator(SNR,m0,mu,sigma,v_amb)


vel_axis = linspace(-v_amb,v_amb,n);

X = rand(1,n);
Theta = 2 .* pi * rand(1,n);

if sigma < 0.02
    [~,idx1] = min(abs(vel_axis - mu));
    S = dirac(vel_axis - vel_axis(idx1)); 
    idx = S == Inf;
    S(idx) = 1;
else
    S = m0/sqrt(2*pi*sigma^2) * exp(-(vel_axis - mu).^2/(2*sigma^2));
end


N = sum(S) ./ (n .* SNR); % Noise Power

P = -(S + N) .* log(X); % Power spectrum 
data_f = sqrt(P);



data = ifft(fftshift(sqrt(n) .* sqrt(P) .* exp(1j .* Theta)));% complex time domain signal 


end

解决方法

您的数据具有非常高的频率。在这里，我将实部和虚部绘制为两个单独的信号：

以较低的采样频率重新采样该信号会引入混叠，您会得到一个非常不同的信号，看起来不再像原始信号。

如果你绘制幅度，你看到的只是包络线。混叠不会对包络产生太大影响，因此您的绘图不会显示问题。