问题描述
提前抱歉。这将是一个漫长的过程。
一些背景。我一直在用 Java 实现几个与矩阵相关的算法。我正在研究减少的行梯队形式（rref）。我已经在使用和不使用部分旋转的情况下实现了 rref。我的理解是部分旋转应该比不旋转在数值上更稳定。但是，我发现某些矩阵与我的实现相反，这让我认为我做错了什么。
关于我的实现的一些注意事项：
- 我已经实现了自己的
Number类。此类允许使用复数或实数。 -
compareto()类中的Number方法使用复数的大小。实际值的比较是通过另一种方法完成的。 - 我的
Matrix类本质上包装了这些Number对象的二维数组，并提供了多个构造函数/方法。
代码：
没有部分旋转：
public static Matrix rrefnopivot(Matrix A) {
Number m,scale;
int pivotRow = 0,pivotCol = 0;
while(pivotRow<A.m && pivotCol<A.n) {
if(!A.entries[pivotRow][pivotCol].equals(Number.ZERO)) {
scale = Number.divide(Number.ONE,A.entries[pivotRow][pivotCol]);
for(int k=pivotCol; k<A.n; k++) { // scale the whole row
A.entries[pivotRow][k] = Number.multiply(A.entries[pivotRow][k],scale);
}
}
for(int i=0; i<A.m; i++) {
m = A.entries[i][pivotCol];
if(pivotRow != i) {
for(int k=pivotCol; k<A.n; k++) {
A.entries[i][k] = Number.subtract(A.entries[i][k],Number.multiply(A.entries[pivotRow][k],m));
}
}
}
pivotRow++;
pivotCoL++;
}
return A;
}
部分旋转：
public static Matrix rref(Matrix A) {
Number mult,scale,currentMax;
int maxIndex;
int pivotRow = 0,pivotCol = 0;
while(pivotRow<A.m && pivotCol<A.n) {
maxIndex = pivotRow;
currentMax = A.entries[pivotRow][pivotCol];
for(int i=pivotRow; i<A.m; i++) { // find the maximum entry in the pivot column (at or below the pivot ).
if(A.entries[i][pivotCol].compareto(currentMax) > 0) {
maxIndex = i;
currentMax = A.entries[i][pivotCol];
}
}
if(!A.entries[maxIndex][pivotCol].equals(Number.ZERO)) { // Check that the maximum absolute value is not zero.
if(pivotRow != maxIndex) {
A = A.swapRows(pivotRow,maxIndex); // Make the row with the largest value in the pivot column the pivot for this row.
}
scale = Number.divide(Number.ONE,scale);
}
for(int i=0; i<A.m; i++) {
mult = A.entries[i][pivotCol];
if(pivotRow != i) {
for(int k=pivotCol; k<A.n; k++) {
A.entries[i][k] = Number.subtract(A.entries[i][k],mult));
}
}
}
pivotRow++;
pivotCoL++;
}
else { // Then we do not have a pivot for this column (i.e. the column is all zeros).
pivotCoL++;
}
}
return A;
}
现在来看结果。以下是不同矩阵的三个结果。
E: rref(E): rrefnopivot(E): [ [1 2 3 ] [ [1 0 0] [ [1 0 -1] [4 5 6 ] [0 1 0] [0 1 2 ] [7 8 9 ] [0 0 1] [0 0 0 ] [10 11 12] [0 0 0] [0 0 0 ] [13 14 15] ] [0 0 0] ] [0 0 0 ] ] C: rref(C): rrefnopivot(C): [ [1 2 3 4 5 ] [ [1 0 0 -0.9333333333333338 -1] [ [1 0 -1 -2 -3] [6 7 8 9 10] [0 1 0 0.8666666666666671 0 ] [0 1 2 3 4 ] [11 12 13 14 15] ] [0 0 1 1.0666666666666667 2 ] ] [0 0 0 0 0 ] ] B: rref(B): rrefnopivot(B): [ [1 2 3 1 2 3 4 5 6] [ [1 0 0 0 0 0 0 0 0] [ [1 0 0 0 0 0 0 2.220446049250313E-16 0] [4 5 6 3 4 5 7 8 2] [0 1 0 0 0 0 0 0 0] [0 1 0 0 0 0 0 -4.440892098500626E-16 0] [1 5 5 2 6 7 9 0 1] [0 0 1 0 0 0 0 0 0] [0 0 1 0 0 0 0 4.440892098500626E-16 0] [3 4 5 2 6 7 8 9 2] [0 0 0 1 0 0 0 0 0] [0 0 0 1 0 0 0 -1.3877787807814457E-17 0] [1 1 1 3 4 7 8 9 1] [0 0 0 0 1 0 0 0 0] [0 0 0 0 1 0 0 -4.440892098500626E-16 0] [3 4 7 8 3 1 2 3 4] [0 0 0 0 0 1 0 0 0] [0 0 0 0 0 1 0 8.881784197001252E-16 0] [3 5 6 8 1 3 5 9 1] [0 0 0 0 0 0 1 0 0] [0 0 0 0 0 0 1 -4.440892098500626E-16 0] [0 4 5 3 2 0 1 2 3] [0 0 0 0 0 0 0 1 0] [0 0 0 0 0 0 0 0.9999999999999999 0] [1 4 5 1 7 0 5 3 1] ] [0 0 0 0 0 0 0 0 1] ] [0 0 0 0 0 0 0 7.105427357601002E-15 1] ]
对于前两个，rref() 甚至没有得到正确答案。我查看了矩阵，在 while 循环的倒数第二次迭代期间，这就是它的样子......
[ [1 0 -1.0000000000000002 ]
[0 1 2 ]
[0 0 1.7763568394002505E-15]
[0 0 0 ]
[0 0 8.881784197001252E-16 ] ]
所以有非常小的非零值（应该是零）导致了这个问题。这似乎是浮点算术错误的结果。 C 类似。然而，对于矩阵 B，部分旋转确实产生了正确的答案，而无旋转方法有一些错误。
所以这是我的正式问题，最后是sheesh。首先，我实施部分旋转有问题吗？无论是引入数值不稳定还是不正确的逻辑。其次，部分旋转是否保证在数值上更稳定？或者，使用部分旋转时的两个矩阵 E 和 C 示例是否不太稳定？这些类型的错误是不可避免的吗？我应该将非常小的数字四舍五入为零以便算法起作用吗？
提前谢谢大家。
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