克拉尼模式模拟

问题描述

我想模拟克拉尼图案的创建。

我想从双调和方程的板理论（不是膜理论）开始。我已经做了一些尝试（通过将双调和方程共享到一个由 2 个方程组成的系统中），但成功有限。我主要使用的软件是 Mathematica 和 Maple，（最新版本）。

我的第一次尝试给了我一些现实的结果，但不符合真正的束缚条件。现代 Chladni 实验实际上主要是通过一个电动振动器实现的，该振动器的轴固定在板的中心。所以，我们有所有的自由边。此外，正弦力是垂直的，为振动提供脉冲。我找到了一篇有趣的文章，描述了我想做的事情，但不幸的是，作者使用了一种我不知道的数值方法（体积有限方法）。它在这里：https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/s42452-020-04062-6.pdf

当然，我已经用钢制方板和振动器做了我的个人实验:)

所以，如果有人已经做过这种模拟，我很感兴趣，分享我们在 MMA 或 Maple 上的知识和实验。

为了说明我的要求，以下是我用 MMA 编码的几行代码。他们为我提供了一些有趣的结果，但在狄利克雷边界条件下，这不是我想要的。

(*My code to illustrate my questions*)
Remove["Global`*"];
(*length,witdh,thickness in m*)
a = 0.18;
b = 0.18;
h = 0.001;
Ey = 2.1 10^11;(*N/m^2*)(*Young modulus*)
\[Rho] = 7800;(*kg/m^2*)
\[Nu] = 0.3;(*Poisson coeff.*)
Df = (Ey h^3)/(12 (1 - \[Nu]^2))(*flexural rigidity*)
d = Sqrt[Df/(\[Rho] h)] (*coeff.correponding to the plate's \
mechanical behavior to introduce within Double Laplacian equations*)
eqnr = {-(d) Laplacian[u[x,y],{x,y}] + 
    v[x,-(d) Laplacian[
     v[x,y}]}// Quiet;(*bi-harmonic eigenvalue system*)(*bi-harmonic eigenvalue \
system*)
bcs = DirichletCondition[u[x,y] == 0,True];
{valr,funr} = 
 NDEigensystem[{eqnr,bcs},{u,v},a},{y,b},80]// Quiet;
f = valr/(2 \[Pi]) (*to get all modal frequencies and functions*)
Table[ContourPlot[Re[funr[[i,1]][x,y]] == 0,PlotRange -> All,PlotLabel -> Re[valr[[i]]/(2 Pi)] "Hz",AspectRatio -> Automatic,ImageSize -> Tiny,FrameTicks -> None],{i,1,Length[valr]}]
(*to get the nodal lines patterns which should match the results of \
my experiment-see photos below*)
(*Animation of the plates vibrations:*)
ListAnimate[
 Table[Plot3D[Re[funr[[i,y]],ColorFunction -> "Rainbow",AspectRatio -> Automatic],Length[valr]}],AnimationRepetitions -> 1,DefaultDuration -> 20]

解决方法

暂无找到可以解决该程序问题的有效方法，小编努力寻找整理中！

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boundary eigenvalue pde vibration