Z3 Python API 中的扩展欧几里得算法

问题描述

我正在尝试在 Z3 中对扩展欧几里得算法进行建模，但遇到了无限循环。

欢迎提出建议和意见。

第一个函数是用 Python 编写的 - 仅供参考。

第二个函数是在 z3 分析它时陷入无限循环的函数。

您是否发现我将常规 Python 函数映射到相应 Z3 语法的方式有任何错误？

'''
Returns d,x,y such that a*x + b*y = d
d = gcd(a,b)
'''
def extended_euclid_rec(a,b):
    if b == 0:
       d = a; x = 1; y = 0 # y can be any int
       return d,y
    else:
       d,x1,y1 = extended_euclid_rec(b,a % b)
       q = a // b
       x = y1
       y  = x1-y1*q
       assert a*x + b*y == d
       return d,y

此函数进入无限循环。

def extended_euclid(a,b):
   d = If(b == 0,a,extended_euclid(b,a % b)[0])
   x1 = If(b == 0,1,a % b)[1])
   y1 = If(b == 0,a % b)[2])

   q = If(b == 0,a // b)
   x = If(b == 0,y1)
   y = If(b == 0,x1-y1*q)
   return d,y


a = Int('a')
b = Int('b')

s = Solver()
s.add(extended_euclid(a,b)[0] == 1)
print s.sexpr()
print s.check()

解决方法

这里的问题是您正在使用符号输入运行函数，因此递归永远不会停止。您不能直接使用 Python 函数对这样的递归函数进行建模，除非您保证递归将具体停止。

一个经典的技巧是向函数传递一个额外的计数器，它将是一个常规整数（不是 z3 符号整数！），在每次递归调用中都会递减。只要计数足够大，就可以通过这种方式完成验证。但是确定计数应该有多大取决于您要建模的算法，并且可能难以确定。

另一种选择是使用 z3 的递归函数定义功能，您可以将函数递归地编写为 z3py 函数（而不是 Python 函数）。然而，这也相当棘手，因为大多数递归函数都需要归纳证明，而 SMT 求解器不进行归纳。

总而言之，z3（或任何其他 SMT 求解器）并不是对此类递归程序进行建模的正确工具。相反，使用适当的定理证明器，例如 Isabelle、ACL2、Coq、Lean 等；所有这些都支持这种开箱即用的递归定义。虽然这些工具不是一键式的，但它们提供了大量证明自动化来帮助您。

python smt z3