问题描述
我正在尝试取三个密度矩阵的张量积并在乘积基础上表达它。这些矩阵中的每一个都有迹线 1，理论上，乘积矩阵也应该如此。但是在 numpy 中这样做似乎有一些意想不到的效果。甚至将中间数组重塑为二维形式也能给出相同的答案。
In [31]: rho1
Out[31]:
array([[0.,0.,0. ],[0.,0.1,0.2,0.3,0.4]])
In [32]: np.trace(rho1)
Out[32]: 1.0
In [33]: rho2
Out[33]:
array([[0.2,0.2]])
In [34]: np.trace(rho2)
Out[34]: 1.0
In [35]: rho3
Out[35]:
array([[0.5,0.5,0. ]])
In [36]: np.trace(rho3)
Out[36]: 1.0
In [37]: rho = np.tensordot(rho1,np.tensordot(rho2,rho3,axes=0),axes=0)
In [38]: np.trace(rho.reshape(125,125))
Out[38]: 0.010000000000000002
In [39]: rho = np.tensordot(rho1,axes=0).reshape(25,25),axes=0)
In [40]: np.trace(rho.reshape(125,125))
Out[40]: 0.010000000000000002
我真的在这段代码中找不到任何错误，所以我觉得我误解了 tensordot 和 reshape 是如何工作的。但我并没有真正从文档中得到任何东西。有人可以帮我解决这个问题吗？
解决方法
简答：
我猜您正在寻找 kronecker 张量积：np.kron():
rho = np.kron(rho1,np.kron(rho2,rho3))
这次：
np.trace(rho)
Out[22]: 1.0000000000000002
详情：
为什么您的解决方案不起作用？
因为 np.reshape() 不会以“正确”的维度顺序重塑您的数组，您最终可以排列某些维度以获得所需的结果：
rho = np.moveaxis(np.tensordot(rho1,np.moveaxis(np.tensordot(rho1,rho2,axes=0),[0,1,2,3],3,1]).reshape((5,5)),1]).reshape((125,125))
会输出正确的结果，但是由于存在np.kron，所以有点矫枉过正。
实际上您认为 np.tensordot(rho1,axes=0) 相当于：
np.einsum('ik,jl',rho1,rho2)
但实际上 np.tensordot(rho1,axes=0) 计算：
np.einsum('ij,kl',rho2)
因此获得正确答案的另一种方法是使用：
np.einsum('ik,rho2).reshape(5,5)
tensordot 文档确实说轴 = 0 给出了张量积：
axes = 0 : tensor product :math:`a\otimes b`,数组的外积。但是你必须注意结果维度是如何排列的。
但它说：
The shape of the result consists of the non-contracted axes of the
first tensor,followed by the non-contracted axes of the second.
使用 axes=0，它实际上创建了 rho2[:,:,None] 和 rho3[:,None,:]，并在法向 dot 轴上计算乘积总和。
In [37]: x=np.tensordot(rho2,rho3,0)
In [38]: x.shape
Out[38]: (5,5,5)
将其与具有默认“ijkl”输出的 einsum 进行比较：
In [40]: y=np.einsum('ij,rho3)
In [41]: y.shape
Out[41]: (5,5)
In [42]: np.allclose(x,y)
Out[42]: True
或 dot 等价物：
In [44]: z=np.dot(rho2[:,None],rho3[:,:])
In [45]: np.allclose(x,z)
Out[45]: True
前两个维度来自 rho2。
如果您真正想要的是 kron，我们必须首先转置维度，将 2 个数组中的维度交错：
In [46]: K=np.kron(rho2,rho3)
In [47]: K.shape
Out[47]: (25,25)
In [48]: np.trace?
In [49]: np.allclose(x.transpose(0,3).reshape(25,25),K)
Out[49]: True
测试跟踪：
In [50]: K.trace()
Out[50]: 1.0
与 einsum 相同。注意索引的顺序：
In [53]: np.einsum('ij,kl->ikjl',rho3).reshape(25,25).trace()
Out[53]: 1.0
另一种看待这个的方法是从 4d 数组中提取 2d 对角线值：
In [60]: j = np.arange(5); i=j[:,None]
In [61]: x[i,i,j,j]
Out[61]:
array([[0.1,0.1,0.,0. ],[0.1,0. ]])
In [62]: _.sum()
Out[62]: 1.0
简单地重塑 x，将这些值放在对角线上：
In [63]: x[i,j]
Out[63]:
array([[0.1,[0.,0. ]])
等效于 2 步跟踪：
In [75]: x.trace(0,1)
Out[75]:
array([[0.5,0.5,0. ]])
In [76]: x.trace(0,1).trace()
Out[76]: 1.0
np.tensordot 不是张量积，而是张量的点积。张量积类似于外积。