计算最小二乘法时矩阵的维数问题

编程问答 2022-05-03

问题描述

我之前在这方面的主题。

Problem in solving algorithm polynomial regression,least squares method in Octave

我决定不更改主要问题，而是为每个问题创建一个新问题。

这一次，问题如下。我在多项式回归中使用了最小二乘法。

将这个函数相对于参数 b 的向量微分并将导数等于零，我们得到方程组（矩阵形式）。这个公式。

(X^{T}X)b=X^{T}y.

也就是说，如果我想从这里表达b，我需要做我所做的。

b=X^{T}y/(X^{T}X)=> b=X'*y1/(X'*X)

代码：

#Generating random values ​​of experimental data
x=0:0.1:5;
y=3*x+2;
y1=y+randn(size(y));
k=5;#polynomial degree
X=[x' ones(length(x),1)];
b=X'*y1/(X'*X); Error: operator *: nonconformant arguments (op1 is 2x51,op2 is 1x51)\

是的，数组 X 和 y1 的维度不一致。附加的屏幕截图将显示所有内容。在此屏幕截图中，变量 X、y1 和 X'（转置）。

enter image description here

然后我决定从数组 X 中选择 1 列并将其乘以 y1。

enter image description here

如果您查看屏幕截图，您会发现现在转置的 X' 与 y1 维度匹配。也就是说，应该没有错误，但它仍然存在。

解决方法

你数学错了。在进行矩阵运算时，您不能随意划分您想要的位置。

最小二乘解是

b=(X'*X)^-1 * X' * y

您对 y 的定义也有误，或者您的尺码不合适。

x=0:0.1:5;
y=(3*x+2)'; %transpose!
y1=y+randn(size(y));
X=[x' ones(length(x),1)];

矩阵的逆是你永远不应该在数值上取的东西。幸运的是，有一种叫做 Moore-Penrose 伪逆的东西，它确保在使用时，您将获得原始问题的最小二乘解。所以让我们使用它。

b=pinv(X'*X)*X'*y;
b_with_noise=pinv(X'*X)*X'*y1;

请注意，以下内容基本为零到数字精度，这意味着它是正确的。

sum(X*b-y)

ans =

  -5.8176e-14

现在，在 MATLAB/octave 中，您可以更轻松地做到这一点：

b=X\y;
b_with_noise=X\y1;

MATLAB 将找到计算最小二乘解的最佳算法。 mldivide 有更多信息（octave 文档有点缺乏，但应该以相同的方式工作）。

octaveoctaveoctave-guiregression