找到小于 k 的数 n 的除数的有效方法

问题描述

我已经这样做了:-

int divisors(int div,int i) {

    int ans = 0;
    for (int j = 1; j * j <= div; j++) {
        if (div % j == 0) {
            if (div / j == j && j < i)ans++;
            else {
                if (j < i && div / j < i) {
                    ans += 2;
                }
                else if (j < i) {
                    ans += 1;
                }
                else {
                    break;
                }
            }
        }
    }
    return ans;

}

但是这需要 O(sqrt(div)) 时间，我有办法优化它吗？

解决方法

你还没有说你会用这个函数做什么。如果您打算仅计算几个数字的除数数（小于限制），那么使用您提供的函数的方法很可能是最好的方法。

另一方面，如果您想为所有数字（可能在某些限制之间）计算它，那么更好的方法可能是像 Aritosthenes 的筛子一样计算它。也就是说，您遍历范围内的除数 d，对于每个 d，在 d、2d、...的计数上加 1，这些是唯一可以被 d 整除的数字。

所以有些东西

void compute( int maxn,int maxd,int* counts)
{  memset( counts,maxn *sizeof *counts);
   for( int d=1; d<maxd; ++d)
   {   for( int n=d; n<maxn; n+=d)
       { counts[n] += 1;
       }
   }
}

调用此后，counts[n] 将保存每个 n 0,..maxn-1 小于 maxd 的除数数。请注意，上面的代码中根本没有除法或取模运算；这些通常比其他算术运算慢得多。

,

你不能低于O(sqrt(N))，因为在最坏的情况下你需要k = N，那个时候你必须遍历到sqrt(N)