问题描述
我正在 Unity 引擎中制作游戏，其中汽车按照贝塞尔曲线长度的百分比沿着贝塞尔曲线移动。
在此图像上，您可以看到带有 8 个停止点（黄色球体）的曲线。每个停靠点之间的距离为总距离的 20%。
在上图中，一切正常，但是当我移动手柄时，会出现手柄长度不同的问题。
如上图所示，停止点之间的距离不相等。这是因为我的算法，因为我通过将段长度乘以插值（t）来找到段点。简而言之，问题在于：如果 t=0.5，则它不在该段的 50% 中。正如您在第一张图像上看到的，停止点位于线段的一半，但在第二张图像中它不在线段的一半。这个问题就解决了，如果有一些数学公式，如何找到距离中点。
如上图所示，有两个中点。通过将 t 设置为 0.5 可以找到 T 参数中点（这是我现在正在做的），但它不是距离的一半。
如何找到距离中点（对于三次贝塞尔曲线，手柄的距离不同）？
解决方法
您已经正确观察到参数值t=0.5 一般不是长度中间的点。这是一个好的开始，但难点在于下面的数学。
用x(t)和y(t)表示参数曲线的组成部分，曲线的长度 t=0（开头）和选择的参数值 t = u 之间是 equal to
您要做的是找到 u 使得 l(u) 是 l(1) 的一半。这有时是可能的，但通常很困难或不可能。那你能做什么？
一种可能性是近似您想要的点。一种直接的方法是通过分段线性曲线来近似您的贝塞尔曲线（只需选择许多参数值 0 = t_0 t_1 t_n = 1 并通过线段连接这些参数中的值）。现在很容易计算整个长度（勾股定理是你的朋友）以及中间点（沿着分段线性曲线走规定的长度）。您采样的点越多，您就越精确，计算所需的时间也就越多，因此需要进行权衡。当然，您可以使用更复杂的数值方案进行近似，但这超出了答案的范围。
第二种可能性是将自己限制在 Bezier 曲线的一个子类中，让您可以随心所欲。这些被称为 Pythagorean-Hodograph（简称 PH）曲线。它们具有极其有用的特性，即存在一个多项式 sigma(t)使得
这意味着您可以计算上面的积分并搜索u的正确值。然而，一切都是有代价的，这里的代价是你将失去控制点放在哪里的自由度（对我来说，作为一个数学家，三次贝塞尔曲线有四个控制点；计算机图形学的人经常说“句柄”所以你可能需要翻译成你的术语）。对于立方情况，您可以在 Vito Vitrih 的 this seminar talk 幻灯片 15 中找到条件。
表示：
-
控制点， 
-
;
那么贝塞尔曲线是 PH 曲线当且仅当
。
这取决于您是否可以在您的情况下强制执行此条件，或者它是否对您的应用程序过于严格。