求周期下如何理解离散傅立叶变换的结果？

编程问答 2022-05-01

问题描述

我正在学习如何使用离散傅立叶变换 (DFT) 来找到关于 a^x mod(N) 的周期，其中 x 是一个正整数，a 是任何质数，而 { {1}} 是两个质因数 N 和 p 的乘积。

例如q的周期为4，

2^x mod(15)

DFT 的结果如下，

a = 2 and N = 15

（引用自 O'Reilly Programming Quantum Computers chapter 12）

有 4 个 4 个单位的尖峰，我认为后 4 个表示周期是 4。

但是，当 >>> for x in range(8): ... print(2**x % 15) ... Output: 1 2 4 8 1 2 4 8 ^-- the next period 为 35 且句点为 12 时

N

在本例中，有 8 个大于 100 的尖峰，其位置分别为 0、5、6、11、32、53、58、59。

位置顺序是否暗示了幻数 12？以及如何从右边的图中理解“12 个均匀分布的尖峰”？

enter image description here

（引用自 O'Reilly Programming Quantum Computers chapter 12）

解决方法

查看 How to compute Discrete Fourier Transform? 和所有子链接，尤其是 How do I obtain the frequencies of each value in an FFT?。

如您所见，DFT 结果的第 i 个元素（从 0 到 n-1 计数，包括）代表 Niquist 频率

f(i) = i * fsampling / n

DFT 结果仅使用那些正弦频率。因此，如果您的信号确实有不同的（甚至略有不同的频率或形状）混叠就会发生。

混叠正弦波在 DFT 输出中产生 2 个频率，一个高一个频率低。

任何尖锐的边缘都会转换为许多频率（通常是像上一个示例一样的连续频谱）

f(0) 不是频率，代表直流偏移。

最重要的是，如果您的 DFT 的输入是实域，那么 DFT 结果是对称的，这意味着您只能使用结果的前半作为第二个只是镜像（不包括 f(0)），这是有道理的，因为您不能在实际域数据中表示大于 fsampling/2 的频率。

结论：

您无法获得 DFT 使用的信号频率，因为计算此类信号的方法有无数种。 DFT 正在使用正弦波重建信号，而您的信号绝对不是正弦波，因此结果与您的想法不符。

通过为 DFT 正确选择 n 来将 niquist 频率与您的频率相匹配，但是如果不知道前面的频率，您就无法做到这一点......

可能可以根据其 2 个别名计算奇异正弦波频率，但是您的信号不是正弦波，因此无论如何都不适用于您的情况。

我会使用不同的方法来确定整数数字信号的频率：

  1. 计算信号的直方图

    所以计算每个数字有多少

  2. 测试可能的频率

    您可以强制所有可能的信号周期并测试随后的周期是否相同，但是对于大数据来说这不是最佳...

    我们可以使用直方图来加快速度。因此，如果您在大小为 cnt(ix) 的数据中查看频率为 f 且周期为 T 的周期信号的直方图中的计数 n，那么信号的周期应该是一个公分频器所有的计数

    T = n/f
k*f = GCD(all non zero cnt[i])

    其中 k 除以 GCD 结果。但是，如果 n 不是 T 的精确倍数，或者信号中有噪声或有轻微偏差，这将不起作用。然而，我们至少可以估计 GCD 并测试其周围的所有频率，这些频率仍然比蛮力更快。

    因此对于每个计数（不考虑噪音），它应该遵守：

    cnt(ix) = ~ n/(f*k)
k = { 1,2,3,4,...,n/f}

    所以：

    f = ~ n/(cnt(ix)*k)

    所以如果你收到这样的信号：

    1,1,1

    那么直方图将是 cnt[]={0,7,8,...} 和 n=19，因此对于每个使用过的元素，按每个 f 的周期计算 n 导致：

    f(ix) = n/(cnt(ix)*k) 
f(1)  = 19/(7*k) = ~ 2.714/k
f(2)  = 19/(8*k) = ~ 2.375/k
f(3)  = 19/(4*k) = ~ 4.750/k

    现在实际频率应该是结果的公共分频器 (CD)，因此采用向上和向下舍入的最大和最小计数（忽略噪声）导致以下选项：

    f = CD(2,4) = 2
f = CD(3,4) = none
f = CD(2,5) = none
f = CD(3,5) = none

    所以现在测试频率（幸运的是它在这种情况下只有一个有效）每 19 个样本 2 个周期意味着 T = ~ 9.5 所以测试向上和向下取整...

    signal(t+ 0)=1,1
signal(t+ 9)=1,1 // check 9 elements
signal(t+10)=1,?   // check 10 elements

    如您所见，signal(t...t+9)==signal(t+9...t+9+9) 表示句点为 T=9。

dftfft