问题描述
我有一个带循环的有向图。这个图最重要的部分是每条边都有可以通过的次数限制，之后它应该变成“不可用”。
我将如何找到最长的路径？任何信息或链接或评论将不胜感激。谢谢！
解决方法
不幸的是，这个问题是NP-complete，这意味着不太可能存在“快速”算法（可以在多项式时间内解决每个实例的算法）；您要么需要接受不能保证找到最佳解决方案的快速启发式算法，要么使用只能在合理时间内解决小实例的指数时间算法。
我将通过将 NP 完全问题 Hamiltonian Path in a Directed Graph (HP) 简化为您的问题来展示这一点。简而言之，这个想法是：如果存在某种算法可以“快速”解决问题的每个实例（意味着在多项式时间内），那么它也可以用作解决 HP 的每个实例的子程序 - - 这似乎不太可能，因为尽管进行了数十年的 CS 研究，但没有人知道如何在多项式时间内解决 HP（或任何 NP 完全问题）。
在HP中，给定一个有向图G = (V,E)，任务是判断是否有一条路径可以访问所有|V|顶点恰好一次。给定此问题的一个实例，我们可以构建您的问题的实例 G'，如下所示：
- 将每个顶点v替换为三个顶点v_in、v_mid和v_out，将所有入边变为v成为入边到v_in，将所有出边从v变为出边从v_out；称这些边为“乌木边”（它们对应于 G 中的边）。还要添加从 v_in 到 v_mid 和从 v_mid 到 v_out 的边；将这些边称为“天鹅绒边”（它们对应于 G 中的顶点）。
- 为每条边分配 1 次通过限制。
当且仅当原始图 G 中存在哈密顿路径时，此图中存在长度为 3|V|-1 的路径：
“If”方向： 假设 G 包含一个哈密顿路径。这对应于构建图中的长度为 3|V|-1 的路径，该路径以一对天鹅绒边开始和结束，并在天鹅绒和乌木边之间交替使用 VVEVVE...EVV 模式。
“仅当”方向： 假设在构造的图中存在长度为 3|V|-1 的路径 P。每条边的通过限制为 1，因此每条边在此路径中最多出现一次。 P 必须具有以下边缘模式之一：
- VVEVVE...EVV
- VEVVE...EVVE
- EVVE...EVVEV
在每种情况下，P 至少遍历与 G 中每个顶点对应的两个天鹅绒边缘中的一个，因此对应于 G 中的哈密顿路径。