用迭代法求解棒材切割问题无DP的递推关系

问题描述

我正在阅读 Clrs 书中的动态编程章节。在杆切割问题中，this recurrence relation 是在我们不使用动态规划时（基本情况 T(0) = 1）获得的。解直接给出为 T(n) = 2^n。

我可以使用归纳法验证解决方案是否正确。但我似乎无法弄清楚如何使用迭代（即插即用）方法从给定的递归中逐步得出这个解决方案。我非常感谢您在这方面的帮助。

解决方法

T(0) = 1

T(1) = 1 + T(0)
     = 2

T(2) = 1 + T(0) + T(1)
       \_,____/
     = T(1) + T(1)
     = 2*T(1)
     = 4

T(3) = 1 + T(0) + T(1) + T(2)
       \_,___________/
     = T(2) + T(2)
     = 2*T(2)
     = 8

T(4) = 1 + T(0) + T(1) + T(2) + T(3)
       \_,__________________/
     = T(3) + T(3)
     = 2*T(3)
     = 16

:

T(n) = 2*T(n-1) = 2^n