问题描述
我是 NTL 库的新手，因为它的 GF2X、GF2E、GF2EX 等。现在，我想对 galois 域 GF(2^8) 执行乘法。问题如下：
Rijndael (standardised as AES) uses the characteristic 2 finite field with 256 elements,which can also be called the galois field GF(2^8).
It employs the following reducing polynomial for multiplication:
x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1.
例如，{53} • {CA} = {01} 在 Rijndael 的字段中，因为
(x^6 + x^4 + x + 1)(x^7 + x^6 + x^3 + x)
= (x^13 + x^12 + x^9 + x^7) + (x^11 + x^10 + x^7 + x^5) + (x^8 + x^7 + x^4 + x^2) + (x^7 + x^6 + x^3 + x)
= x^13 + x^12 + x^9 + x^11 + x^10 + x^5 + x^8 + x^4 + x^2 + x^6 + x^3 + x
= x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x
and
x^13 + x^12 + x^11 + x^10 + x^9 + x^8 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x modulo x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1
= (11111101111110 mod 100011011)
= {3F7E mod 11B} = {01}
= 1 (decimal)
我的问题是如何表示化简多项式 x^8 + x^4 + x^3 + x^1 + 1 以及 x^6 + x^4 + x + 1 中的多项式 x^7 + x^6 + x^3 + x 和 NTL。然后对这些多项式进行乘法运算，得到结果{01}。
这是我使用这个库的一个很好的例子。
解决方法
同样，我不知道 NTL，我在 Windows 7 上运行 Visual Studio 2015。我已经下载了我需要的东西，但是必须用所有提供的源文件构建一个库，这需要一段时间弄清楚。但是，根据另一个答案，这应该可以帮助您入门。首先，初始化 GF(256) 的约简多项式：
GF2X P; // apparently the length doesn't need to be set
SetCoeff(P,1);
SetCoeff(P,1,3,4,8,1);
GF2E::init(P);
接下来，将变量赋值为多项式：
GF2X A;
SetCoeff(A,1);
SetCoeff(A,6,1);
GF2X B;
SetCoeff(B,1);
SetCoeff(B,7,1);
GF2X C;
看起来乘法有一个覆盖，因此假设乘法覆盖基于 GF(2^8) 扩展字段 GF2E::init(P)，这将起作用。
C = A * B:
正如问题后所评论的，NTL 更面向大领域。对于 GF(256)，使用字节和查找表会更快。对于高达 GF(2^64)，具有无进位乘法 (PCLMULQDQ) 的 xmm 寄存器内在函数可用于在没有表格的情况下快速实现有限域数学（需要一些常数，多项式及其乘法逆）。对于大于 GF(2^64) 的字段，需要扩展精度数学方法。对于字段 GF(p^n)，其中 p != 2 且 n > 1，无符号整数可用于查找表。构建表格将涉及整数和 GF(p) 多项式系数之间的一些映射。