问题描述
我正在学习数据结构和算法。我被教导几乎每个 hashmap 操作都几乎是 O(1)。这是一种执行二次探测分辨率的方法，它返回所需对象的位置。
private int findPos( Object x )
{
int offset = 1;
int currentPos = myhash( x ); //Using quadratic probing
while( array[ currentPos ] != null &&
!array[ currentPos ].element.equals( x ) )
{
currentPos += offset; // Compute ith probe
offset += 2;
if( currentPos >= array.length )
currentPos -= array.length;
}
return currentPos;
}
我正在做作业，我不得不在作业中找出这种方法的复杂性。这是场景：
该数组表示一个英语词典，其中每个元素都是其中的一个单词。这个作业的答案是 O(1) 复杂度。但我想知道为什么不是 O(n) 复杂度，因为里面有很多元素（大约 171,476 个单词）会导致很多冲突。换句话说，我怎么能确定，从这个场景来看，这个方法总是 O(1) ？
编辑 我的家庭作业的问题是：在最坏情况情况下，这种方法的复杂性如何。还是 O(1) 吗？
解决方法
非最坏情况.... 它是 O(1) 而不是 O(n) 因为搜索时间不取决于数组的大小。是的，您会遇到更多元素的更多冲突，但平均而言每次搜索不会有更多冲突，因为数组的大小随着 n 的增加而增加。
编辑：由于问题规定数据是来自英语的单词，因此 n 的最大可能大小有限制，这意味着您实际上可以保证您的哈希函数没有冲突，这将使答案 O(1)即使在最坏的情况下。
,这种方法在最坏情况下的复杂度是多少。即使在最坏的情况下，它仍然是 O(1) 吗？
要回答您的问题，您确实必须定义最坏情况的含义。哈希表的实现非常依赖于两个因素：您打算存储在哈希表中的数据的（概率）分布，以及您定义的哈希函数。了解这两个因素后，您就可以进行平均案例分析。没有这两条信息，你可以假设最坏的情况，例如：
- 您将始终获得相同的值来存储数字“1”
- 你的哈希函数是 f(x) = x
在这种情况下，如果您对存储桶使用链表，那么最坏的情况确实是 O(n)。
但是，如果您有更多信息，例如您的数据遵循均匀分布并且您使用合理的散列函数，则您可以在平均情况下显示大多数操作应该是 O(1) .在上一句中，描述符“平均”是通过对数据遵循的概率分布求平均值来精确定义的。
我不清楚您需要多详细的分析，但通常使用开放寻址（与哪个无关），平均运行时间的分析如下。
让 a = n / N 为哈希表的负载因子，其中 n 是存储的元素数量，N 是存储桶的数量。假设没有聚类问题（由于数据或散列函数）并且所有探测的可能性相等（证明二次探测是正确的证据是分开的），那么你可以断言
P(probe hits occupied bucket) = a
P(probe hits unoccupied bucket) = 1-a
P(probe hits unoccupied bucket in 2 steps) = a (1-a)
P(probe hits unoccupied bucket in k steps) = a^{k-1} (1-a)
因此探测的平均运行时间为
E(number of steps in probe) = \sum {for k = 0 to m} k a^{k-1}(1-a)
<=\sum {for k = 0 to infty} k a^{k-1}(1-a)
= (1-a) / (1-a)^2
= 1 / (1 - a)
其中无限和由 arithmetico-geometric series 给出，m 是探测步骤数的上限（取决于探测技术，通常需要单独证明探测技术终止在有限的步骤中m。）
如果我们保持合理的负载因子 a，比如说 a = n / N = .5，那么
E(number of steps in probe) <= 1 / (1-.5) = 2
因此 E(number of steps in probe) 是 O(1)。
整个分析的关键在于能够认识到无限和有一个很好的收敛形式。
总结一下，我上面给出的证明适用于一般情况，但要求您使用的探测技术满足以下条件（可能需要单独证明）：
- 探测技术基于命中未占用/已占用存储桶（即
P(probe hits occuppied bucket) = a）的负载因子产生统一概率 - 探测技术在有限数量的步骤中终止
根据您的分析必须有多详细，您可能需要证明二次探测的这两个属性才能完成证明。 （请注意，只有当负载因子为