问题描述
我对找到截断的正态随机向量的均值和协方差很感兴趣。假设 Y 是一个包含 [Y1 Y2 Y3] 的向量。 Y 遵循具有以下均值和协方差的多元正态分布：
mu <- c(0.5,0.5,0.5)
sigma <- matrix(c( 1,0.6,0.3,1,0.2,2),3,3)
截断区域是 Y 的集合，使得 AY >= 0。例如，
A <- matrix(c(1,-2,-0.5,1.5,-1,4,-2),byrow = TRUE,nrow = 4)
> A
[,1] [,2] [,3]
[1,] 1.0 -2 -0.5
[2,] 1.5 -2 0.0
[3,] 3.0 -1 -1.0
[4,] 4.0 0 -2.0
对于下面的Y抽签，它不满足AY >= 0：
set.seed(3)
Y <- rmvnorm(n = 1,mean = mu,sigma = sigma)
> all(A %*% as.matrix(t(Y)) >= 0)
[1] FALSE
但是对于 Y 的其他抽奖，它们将满足 AY >= 0，我想找到满足 Y 的那些 AY >= 0 的均值和协方差。>
R 中有现有的包可以计算截断正态分布的均值和协方差。例如，mtmvnorm 包中的 tmvtnorm：
library(tmvtnorm)
mtmvnorm(mu,sigma,lower = ???,upper = ???)
然而，我所拥有的截断集，即满足 Y 的 AY >= 0 集，不能仅用 lower 和 upper 边界来描述。 R 是否有另一种方法来计算截断法线的均值和协方差？
解决方法
您有正确的理解（或者可能已经注意到）这是不是截断的多元正态分布。您将 AY>=0 作为对 Y 的线性约束，而不是简单的逐元素下限/上限。
如果您不是数学爱好者，即追求均值和协方差的显式解决方案，我想使用蒙特卡罗模拟是一种简单有效的方法。
更具体地说，您可以假设一个足够大的 N 来生成足够大的样本集 Y，然后过滤掉满足约束 AY>=0 的样本。反过来，您可以计算所选样本的均值和协方差。尝试如下
N <- 1e7
Y <- rmvnorm(n = N,mean = mu,sigma = sigma)
Y_h <- subset(Y,colSums(tcrossprod(A,Y) >= 0) == nrow(A))
mu_h <- colMeans(Y_h)
sigma_h <- cov(Y_h)
你会看到
> mu_h
[1] 0.8614791 -0.1365222 -0.3456582
> sigma_h
[,1] [,2] [,3]
[1,] 0.5669915 0.29392671 0.37487421
[2,] 0.2939267 0.36318397 0.07193513
[3,] 0.3748742 0.07193513 1.37194669
另一种方式遵循类似的想法，但我们可以假设所选样本的集合大小，即N样本Y都应该使AY>=0成立。然后我们可以使用 while 循环来做到这一点
N <- 1e6
Y_h <- list()
nl <- 0
while (nl < N) {
Y <- rmvnorm(n = N,sigma = sigma)
v <- subset(Y,Y) >= 0) == nrow(A))
nl <- nl + nrow(v)
Y_h[[length(Y_h) + 1]] <- v
}
Y_h <- head(do.call(rbind,Y_h),N)
mu_h <- colMeans(Y_h)
sigma_h <- cov(Y_h)
你会看到
> mu_h
[1] 0.8604944 -0.1364895 -0.3463887
> sigma_h
[,] 0.5683498 0.29492573 0.37524248
[2,] 0.2949257 0.36352022 0.07252898
[3,] 0.3752425 0.07252898 1.37427521
注意：第二个选项的优点是，它为您提供了足够多的选择Y_h。