问题描述
我希望将 256 位无符号整数的对数基数 n（10 可以）作为 Rust 中的浮点，而不会损失精度。在我看来，我需要实现一个 8xf64 512 位浮点 512 类型并使用泰勒级数来近似 ln 然后是对数。我知道有一些汇编方法可以获取 f64 的日志。我想知道堆栈溢出是否有人能想到分而治之或其他更有效的方法。我愿意在 8xf64 512 位数组上运行内联汇编。
解决方法
这可能是一个有用的算法起点/大纲。 IDK 是否会给您精确 结果，例如错误 bc / dc / calc 这样的扩展精度计算器的作用。
我认为 log 收敛很快，因此如果您要进行牛顿迭代来优化，这种位扫描方法可能是获得良好起点的快速方法。即使你真的只需要大约 256 位正确的尾数位，我也不知道需要多大的多项式才能得到它，并且每个乘法/加法/fma 将在 512 位（8x）或 320 位（5x）上双精度）。
首先将整数转换为二进制浮点数
对于正常大小的浮点数，通常的方法利用二进制浮点数的对数性质。如果没有 256 位硬件浮点数，您需要自己找到 ilog2(int)，即最高设置位 (Efficiently find least significant set bit in a large array?) 的位置。
然后将您的 256 位整数视为 [1..2) 或 [0.5 .. 1) 范围内数字的尾数，是的，对 log2() 使用多项式近似值，在此范围内是准确的范围有限。 （在实际的软浮点数之前，您可能希望将数字左移以使其标准化，即最高设置位位于顶部。即 x <<= clz(x)。
然后是尾数上的多项式近似
然后加上整数指数 + log_approx(mantissa) => log2(x).
Efficient implementation of log2(__m256d) in AVX2 有更多关于实现 log2(double) 的详细信息（SIMD 一次执行 4 次，与执行一次扩展精度计算非常不同）。
它包括一些实现的链接，例如Agner Fog 的 VCL 使用两个多项式的比率而不是一个更大的多项式，并使用各种技巧来保持尽可能高的精度：https://github.com/vectorclass/version2/blob/9874e4bfc7a0919fda16596144d393da5f8bf6c0/vectormath_exp.h#L942。如进一步缩小范围：如果x > SQRT2*0.5，则增加指数并将尾数加倍。 （如果 512 位 FP 除法真的很昂贵，您可能只需在一个多项式中使用更多项。）VCL 目前已获得 Apache 许可，因此您可以随意将其复制到任何内容中。
IDK 如果有更多技巧可能对大扩展精度或软浮点变得更有价值，而该实现不使用。 VCL 的数学函数比一些更快的近似值花费更多的精力来保持高精度，但它们并不精确。
你真的需要 512 位浮点数吗？也许只有 320 位（5 倍双）？
如果您不需要比 double 更大的指数范围，您可以将 double-double-arithmetic 技术扩展到更宽的浮点数，利用硬件 FP 获得 52 或 53 个尾数位每个 64 位块。 （根据评论，显然您已经打算这样做。）
您可能不需要 512 位浮点数即可获得足够的精度。 256/52 = 4.92，因此只有 5x double 块比您的输入具有更高的精度（尾数位），并且可以准确表示任何 256 位整数。 （IEEE double 确实有足够大的指数范围；-1022 .. +1023）。并且有足够的余力让 log2(int) 将每个 256 位输入映射到唯一的单调输出，即使存在一些舍入误差。