n-顶点子图枚举的时间复杂度

问题描述

| 我有一种算法，可以通过给定顶点在P个顶点上创建所有可能的子图的列表。这不是完美的 但我认为它应该可以正常工作。问题是当我尝试计算时间复杂度时迷路了。 我想出了像

T(p) = 2^d + 2^d * (n * T(p-1) )

之类的东西，其中

d=Δ(G),p=#vertices required,n=|V|

。真的只是一个猜测。 谁能帮我这个？ 使用的powerSet（）算法应为

O(2^d)

或

O(d*2^d)

。

private void connectedGraphsOnNVertices(int n,Set<Node> connectedSoFar,Set<Node> neighbours,List<Set<Node>> graphList) {
    if (n==1) return;

    for (Set<Node> combination : powerSet(neighbours)) {
        if (connectedSoFar.size() + combination.size() > n || combination.size() == 0) {
            continue;
        } else if (connectedSoFar.size() + combination.size() == n) {
            Set<Node> newGraph = new HashSet<Node>();
            newGraph.addAll(connectedSoFar);
            newGraph.addAll(combination);
            graphList.add(newGraph);
            continue;
        }

        connectedSoFar.addAll(combination);
        for (Node node: combination) {
            Set<Node> k = new HashSet<Node>(node.getNeighbours());
            connectedGraphsOnNVertices(n,connectedSoFar,k,graphList);
        }
        connectedSoFar.removeAll(combination);
    }
}

    

解决方法

        似乎算法有错误，因为在递归调用之后，组合出现的节点也可能出现在connectedSoFar中，因此检查connectedSoFar.size（）+ combining.size（）等于n的检查似乎不正确，因为可能会计算节点两次。 无论如何，要分析算法，在功率集中有2d个元素。 \“ elase \”分支中的每个操作都需要O（n）的时间，因为connectedSoFar和它们的组合不能包含n个以上的节点。由于| combination |，将元素添加到connectedSoFar会花费O（n log n）时间。 ＆leq; 。组合节点上的迭代发生O（n）次；其中有O（d）操作来构造哈希集k，然后进行递归调用。 然后用X（n）表示过程的复杂度，其中n是参数。你有 X（n）〜2d（n + n log n + n（d + X（n-1））） 因为在递归调用中您已经向图形添加了至少一个顶点，所以在实践中，递归调用中的参数n实际上减少了至少一个。 简化为 X（n）〜2d（n（1 + d + log n + X（n-1））） 因为d是常数，所以标记D = 2d，消除常数1，得到 X（n）〜D n（d + log n + X（n-1）） 您可以分析为 X（n）〜（2d）n n！ （d +日志n） 表明您的算法确实是耗时的:)