Mathematica减少/求解：要求非重复值的最佳方法

问题描述

|| 几次我发现我有一个系统，我需要指定所有变量都获得不同的值（即非重复）。 我通常这样做：

k = {a,b,c,d,e,f,g}; 
Reduce[
   a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
   First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}] && 
   Times@(Sequence @@ (Subsets[k,{2}] /. {x_,y_} -> (x - y))) != 0,k,Integers]

约简方程的最后一部分

Times@(Sequence @@ (Subsets[k,y_} -> (x - y))) != 0

要求不同的值。 有更好的方法可以做到这一点吗？ （我的意思是，不是乘积等于零，而是要指定

I need all variables different

）     

解决方法

        对于较小的问题，最好进行后期处理以除去不需要的解决方案。对于较大的问题，至少有两种有用的方法。 （1）如果允许值是连续的或接近连续的，则可以为每个原始变量和可能值的网格创建0-1变量。例如，如果您的变量旨在填充标准Sudoku数组，则x [i，j，k] = 1可用于指示第i行col j的值是k。约束例如第1行中没有重复的值将是

Sum[x[1,j,1]==1,{j,9}]

...     Sum [x [1，j，9] == 1，{j，9}] 如果不是所有位置（例如行）都需要使用所有值，则可以将这些值设为不等式。 （2）另一种方法是，如果需要区分值，则对每对使用0-1变量。我们假设值范围上至少存在一个已知的上限和下限。叫它m。因此，对于任何一对变量x和y，我们都知道-m和m之间的差异（可以在其中添加/减去变量，但不是必需的）。 对于需要区分的x [i]和x [j]对，添加新变量0-1 k [i，j]。这个想法是，如果x [i]> x [j]为1，而x [j]> x [i]为0。 对于这对，我们添加两个方程。我将以非展开形式显示它们，因为这可能会更容易理解。

x[i]-x[j] >= k[i,j] + m*(k[i,j]-1)
x[j]-x[i] >= (1-k[i,j]) + m*(-k[i,j])

如果x [i]> x [j]，则仅当k [i，j] == 1时才满足。反之亦然，x [j]> x [i]和k [i.j] == 0。 当变量可以跨越的值范围实质上大于变量的数量时，或者当所有对都被约束为不同值的情况要少得多时，这可能是首选方法。 丹尼尔·里奇布劳 *这是星期六晚上，所以把我倒退的东西都倒过来。另外，请修正所有错字。     ,        从速度的角度来看，该产品条件会导致大量开销。如果您的解决方案始终是数字，则可以用solutions5ѭ生成所有解决方案，然后对其进行过滤-在某些情况下可能会更快。例如，在当前情况下：

k = {a,b,c,d,e,f,g};
sl = Reduce[ a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
      First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}],k,Integers]

您可以进行后处理，例如这样（也许不是最好的方法）：

In[21]:= Select[{#,First[k /. Solve[#,k]]} & /@ List @@ sl,MatchQ[Tally[#[[2]],Equal][[All,2]],{1 ..}] &][[All,1]]

Out[21]= {a == 3 && b == 2 && c == 7 && d == 6 && e == 4 && f == 5 && g == 1}

至少对于这种情况，它要快得多。     ,        为什么不直接提供唯一性约束？

k = {a,g};
uniqueness = {a != b != e};
sl = Reduce[
  a != 2 && f == a + b && g == c - d && f == (d + e)/2 && f == e + g &&
    First[And @@@ {0 < # < 8 & /@ k}] && First@uniqueness,Integers]//Timing

Out[1]= {0.046791,a == 3 && b == 2 && c == 7 && d == 6 && e == 4 && f == 5 && g == 1}

粗略地看一下上面的约束，大多数唯一性要求都会被其他约束自我满足，设置

a≠b≠e

会修复所有其余的约束。无需测试所有内容。例如

f = a + b

⇒

f ≠ a

和

f ≠ b

f = e + g

⇒

f ≠ e

和

f ≠ g

2f = d + e

⇒

f ≠ d

∵14ѭ⇒

g ≠ d

c = g + d

⇒

c ≠ g

和

c ≠ d

依此类推...您可能可以对其进行详细研究。 我了解这可能只是一个测试示例，并且我没有一个聪明而快速的一站式答案，而无需考虑问题即可使用。