低温下如何求玻尔兹曼权重或配分函数？

问题描述

在统计物理中，我们经常试图找出表示为的配分函数

Z=\sum_i e^(-\beta E_i) 其中 \beta 是逆温度。 e^(-\beta E_i)，求和项下的项称为玻尔兹曼权重。

现在在低温下，β变得非常大，我们面临的情况是我们必须计算一个非常大的正数或负数的指数（取决于 E_i 的符号）。

在普通的编程语言（例如 Python）中，如果 x>=1000，内在指数函数给出 e^x 无穷大。

例如，在 Python 3 中，我尝试根据泰勒级数展开来估计：

x = 1000
n = int(input('Enter number of terms in Taylor series\n'))

# Taylor Series expansion up to n-th term
def exponential(n,x):
        sum = 1.0
        for i in range(n,-1):
                sum = 1 + x * sum / i
        return sum


print('e^x =',exponential(n,x))

然而，n <= 300 的结果不同，inf 的结果变为 n >= 400。

我们能否计算出大 beta 的配分函数（至少是 10 的幂）？会不会有什么窍门？

解决方法

一种方法是使用 mpmath Python 库，它可以处理任意精度和大数。

例如

import mpmath as mp
mp.dps =50
print(mp.exp(500))

结果是 1.40359221785284e+217

但我想知道一些分析近似是否是更好的方法？例如从Physics.SE看到这个

https://physics.stackexchange.com/questions/357824/what-happens-to-the-partition-functions-in-the-limit-t-to-0-or-beta-to-infty