用模 2 求解线性矩阵方程

编程问答 2022-04-23

问题描述

我有一个这样的矩阵：

import numpy as np

A = np.array([
    [1,1,0],[1,1],[0,1]
])

和一个向量：

b = np.array([0,1])

我想解方程：A * x = b。但我想在模 2 中解决它。这意味着 1 + 1 = 0。所以在这种情况下的解决方案是：

x = np.array([0,1])

我找到了 Solving systems of equations modulo a certain number,with or without numpy，但由于某种原因，该解决方案对我不起作用。我收到错误：

ValueError: pow() 指定第三个参数时第二个参数不能为负

为什么它不起作用？还有其他解决方案吗？

解决方法

由于模数的原因，您不能使用经典的线性代数方法来解决这个组合问题。希望使用模数 2 使问题变得更简单。实际上，加法模数 2 的行为类似于 XOR 二元函数，而乘法则类似于 AND 二元函数。因此，问题可以改写为：

x1 ^ x2 ^ x3 ^  0 = 0
x1 ^ x2 ^  0 ^ x4 = 1
x1 ^  0 ^ x3 ^ x4 = 1
 0 ^ x2 ^ x3 ^ x4 = 1

因此：

x1 ^ x2 ^ x3 = 0
x1 ^ x2 ^ x4 = 1
x1 ^ x3 ^ x4 = 1
x2 ^ x3 ^ x4 = 1

这个例子可以很简单地解决，因为x1 ^ x2 ^ x3 = 0意味着要么x1，x2和x3为零，要么树变量中的两个设置为1，这与以下3条规则相冲突。

然而，在任意的 A 矩阵上，这个问题似乎很难解决，并且非常接近于解决一个 boolean satisfiability problem，它被证明是 NP-complete。

此外，请注意，对于 A 和 b，解可能不存在或可能不是唯一的。

使用CSP 求解器 绝对有助于轻松解决此问题，但如果问题不是 NP 完全的（这尚未得到证实），则它可能不是最佳方法。有很多 Python 库可以解决这个问题（例如 OR-tools 应该可以做到）。

linear-algebramatrixmatrixmodulonumpypython