无向图的顶点编号为 1,2,...4286如果 |i-j|，边 (i,j) 存在<= 3，其中 i!=j哪些陈述是正确的？

问题描述

无向图的顶点编号为 1,2,...4286。如果 |i-j|，边 (i,j) 存在

• 该图包含一个欧拉圆
• 该图包含一个完美匹配图
• 图是哈密顿量

我认为后两个是真的，而第一个是假的。 这是正确的吗？

解决方法

该图不是 Eulerian cycle，因为这样的循环要求每个节点都具有偶数度，但在此图中，节点 1 具有奇数度——它的邻居是 2、3 和 4。>

该图包含一个 perfect matching：一个可能的匹配是连接 ? 到 ?+1 的边的集合，对于每个奇数 ?：

1─2,3─4,5─6,...,4285─4286

该图是一个 Hamiltonian graph，因为它包含以下哈密顿循环：

1─2 ─ 4─5 ─ 7─8 ─ 10─11 ─ 13─14 ─ ...    ─ 4282─4283 ── 4285─4286   
 \                                                            /
  ─ 3 ─── 6 ─── 9 ──── 12 ──── ... ─── 4281 ─────── 4284 ─────

所以在底部我们有 3 的所有倍数，在顶部有所有其他值。