问题描述
我有一个函数，我需要估计它在许多不同区间的定积分，其中一些区间的端点彼此非常接近，
\int_a^{b_k} f(x) dx
我可以为每个时间间隔重新调用 integrate.quad，但这似乎效率很低，因为 integrate.quad 会为每次调用多次评估函数。有什么方法可以重用 quad 已经评估过的点，以便更快地对 quad 进行后续调用？
（如果没有 integrate.quad，也许是另一个 scipy 函数或使用不同的公共 python 库？）
或者我应该缓存我之前的积分值，然后调用 quad 来计算新点和之前计算的最近点之间的差异？
另请注意，所选择的端点并非都是事先知道的，它们是自适应选择的。
解决方法
对于具有不同端点的区间，您可以使用通用自适应积分方法的希望不大。这样做的原因是，一般情况下，如果您稍微更改限制，积分值就会发生很大变化。您必须以某种方式提供您的函数在边界处不是“疯狂”的信息，给出估计等，而我不知道这样的方法。
您可以做的是通过变量替换将积分转换为相同的区间，比如 [0,1]。您最终的任务是在 [0,1] 上集成许多（参数化的）函数。
\int_0^1 f_a(x)
然后您可以尝试对函数调用进行向量化，即针对一个点或一组点同时评估所有函数。
quadpy（我的一个项目）支持矢量化正交，可以显着加快集成速度。多个不同指数的 x ** a 示例：
import numpy as np
import quadpy
a = np.arange(1,7)
def f(x):
return np.power.outer(x,a).T
val,err = quadpy.quad(f,0.0,1.0)
print(val)
print(err)
[0.5 0.33333333 0.25 0.2 0.16666667 0.14285714]
[1.87519478e-20 2.58599737e-20 4.45666434e-20 5.19063171e-20
5.45158477e-20 4.09060649e-20]
请注意，在 f 中，计算是矢量化的，而不是迭代 a。这大大加快了计算速度。