图灵机中的递归与递归可枚举语言？

问题描述

我们说语言L是递归，如果它是由TM决定。

L 是递归可枚举 (r.e.)，如果它被 TM 识别。

假设，enumerator (en-r) 是一台带有打印机的确定性图灵机，从一条空白带开始，可以打印字符串 s1、s2、s3、s4 ... sn ... 如果语言是无限的，则永远继续。

程序需要生成正在打印的字符串，所以这是一个图灵机，可以在磁带上的某处生成语言中的所有字符串。我也可以在磁带上存储其他东西。

en-r 的语言是它打印的所有字符串的集合。 En-r 是生成器机器，不是识别器机器。

对于枚举数 EN 我们说 L(EN) = {s| EN 打印 s}。

关于这种情况，我有 3 个问题：

1. 假设 L 是一个 r.e. set，那么我们如何使用识别器为L创建枚举器？

2. 如果 L 是一种语言并且有一个枚举器以递增的顺序枚举 L，那么为什么 L 是递归的？

3. 为什么如果 L 是递归的，那么有一个 en-r 以递增的顺序枚举它？

谢谢

解决方法

我将最后解决问题 (1)，因为这可能是其中最棘手的。

对于 (2)，假设您有一个以递增顺序打印集合的枚举器。要从中构建决策程序，请执行以下操作。获取输入字符串 w，然后运行枚举器，直到发生以下情况之一：

1. 枚举器打印您的输入 w。在这种情况下，您的输入 w 肯定是在该语言中。
2. 枚举器打印一个字符串 x，其中 w
3. 枚举器停止而不打印您的输入字符串 w。在这种情况下，它绝对不是在语言中，您可以拒绝。

这三个选项中的一个肯定会发生，因此您可以保证该过程在所有输入上停止，因此是一个决策者。

对于 (3)，假设 D 是您的语言的决定器。下面是一个枚举器的伪代码，它以递增的顺序打印语言中的字符串：

for each string w,in increasing order:
    run D on w.
    if D accepts w,print w.

你明白为什么这会按排序顺序打印集合 S 吗？

现在，回到（1）。有几种方法可以证明这一点。传统的方法是使用燕尾形的想法。想象一下，按照 w0、w1、w2、w3……的顺序写出所有字符串。然后，执行这段代码，假设 R 是 L 的识别器：

for i = 1 to infinity
    for j = 0 to i:
        run R on w_j for i - j steps.
        if R accepted,print w_j.

这个想法是，对于 L 中的每个字符串 w_j，有一些 i 选择，其中 R 在 i - j 步中接受 w_j，因此这最终会打印 L 中的每个字符串。