d=log_b(a) 情况的主定理解

问题描述

来自 Dasgupta 的算法：如果一个分治算法的运行时间用递归T(n)=aT(n/b)+O(n^d)来描述，那么它的解是：

1. T(n)=O(n^d) if d>log_b(a)
2. T(n)=O(n^log_b(a)) if d<log_b(a)
3. T(n)=O(n^d*log_2(n)) if d=log_b(a)

其中每个子问题的大小在下一次递归调用中减少 b，a 是分支因子，O((n/b^k)^d) 是在级别 {{} 上划分和组合子问题的时间1}} 对于每个子问题。

案例 1 和案例 2 很简单——它们取自在对递归树的每个级别所做的工作求和时形成的几何级数，即 k。

案例 3 中的 a^k*O((n\b^k)^d)=O(n^d)*(a/b^d)^k 是从哪里来的？当 log_2(n) 时，比率 d=log_b(a) 等于 1，因此系列的总和是 a/b^d，而不是 n^d*log_b(a)

解决方法

举一个更简单的例子，首先请注意 O(log n)、O(log₁₃₇ n) 和 O(log₁₆ n) 的意思相同。这样做的原因是，通过改变对数的基公式，对于任何固定常数 m，我们有

log_m n = log n / log m = (1 / log m) · log n = O(log n).

主定理假设 a、b 和 d 是常数。从对数的基公式的变化，我们有

在这个意义上，O(n^d log_b n) = O(n^d log n)，因为 b 是一个常数在这里。

请注意，看到一些东西写成 O(n^d log₂ n) 是不寻常的，因为这里的日志基数无关紧要，只是有所贡献到（已经隐藏的）常数因子。