问题描述
我遇到了一个结构，它看起来像一个单子，具有单边逆和一些附加属性。我不确定这个结构的哪些属性是必不可少的，哪些是偶然的，所以我将在我的描述中遵循一个简单的例子。
我有一个基本类型 a，它由排序的字符串（例如 "aacdee" 但不是 "abca"）和来自 M 的 monad a 组成，它是只是 List monad:M a 是列表
排序的字符串。这个 monad 定义了 pure: a -> M a、fmap: (a -> a) -> M a -> M a 和 bind: (a -> M a) -> M a -> M a。
现在我定义了 extract: M a -> a，它接受一个字符串列表，将它们连接起来并对结果进行排序。这是 pure 的左逆，即 extract . pure = id 上的 a，但不是右逆。
我还想以这样的方式定义 extend: (M a -> a) -> M a -> M a，即 extract . (extend f) = f 代表所有 f: M a -> a。
虽然可以定义 extend f = pure . f，但我不想这样做。
例如，如果 f 是用字母表中的下一个字符替换每个字符、连接和排序的函数，我希望 extend f 只用下一个字符替换每个字符。同样，如果 f 从第一个字符串中删除所有“a”，从第二个字符串中删除所有“b”，等等。
举一个不那么简单的例子，以f作为取第一个字符串的函数，然后如果第二个字符串比第一个长，则用第二个的最后一个元素扩展第一个字符串，依此类推。例如，f ["ab","c","def"] = "abf"。在这种情况下，我希望 extend f 只适合每个字符串，只留下对结果有贡献的字母，在示例 (extend f) ["ab","def"] = ["ab","","f"] 中。
这一切背后的想法是，在 M a 中可以对多种 f 进行并行优化，我想将 extend f 定义为针对许多特定情况的优化实现，仅在未优化的情况下回退到 extend f = pure f。
我的 extend 不会满足共子公理，但至少会满足以下条件（或非常相似的条件，我不完全确定结合性）：
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(extend f) . pure = pure . f . pure，即在单个字符串上f和extend f本质上是相同的， -
extend (extract . (fmap h)) = fmap h，即如果g = extract . (fmap h)分别作用于每个字符串，那么extend g也一样， -
(extend f) . (extend g) = extend (f . pure . g)，即结合性，或者它的弱形式。
我的问题。这是一个众所周知的结构吗？它有什么特别有趣的特性吗？
解决方法
单独看extract，我们看到extract . pure = id。我们还看到 extract . join = extract . fmap extract。这使得 extract 成为 algebra over the [] monad。
特别是，[] monad 上的代数完全对应于幺半群（范畴论解释：健忘函子 Monoids -> Sets 是一元的，它的左伴随是 []，所以幺半群正好是[] 函子上的代数）。所以 extract 定义了 a 上的幺半群，具有明显的单位和组合定律。
至于 extend，我认为您没有正确的类型。这是因为 extend f :: M a -> M a，所以 extend f 不能作为 extract 的参数，因此 extract (extend f) 不进行类型检查。也许一旦你解决了这个问题，就会更容易理解这里发生了什么。