问题描述
考虑具有 N 个段的分段三次贝塞尔曲线，根据 4N 个控制点定义。如何确定这条曲线是否通过了垂直线测试？也就是说：是否存在点 x,y1,y2 使得 y1!=y2 并且 (x,y1) 和 (x,y2) 都位于曲线上？此外，如果这些点存在，返回点 x,y2 的值会很好但不是必需的。
原则上，您可以只在大量点上明确评估曲线，但在我的应用程序中，曲线可能有大量段，因此速度非常慢。因此，我正在寻找一种仅在控制点上运行的算法，而不依赖于在大量点上明确评估曲线。
解决方法
根据定义，闭合曲线会使您的测试失败，所以让我们看一下开放曲线：对于无法通过垂直线测试的曲线，分段三次 polyBezier 中的至少一个线段需要沿 x 轴“反转方向”，这意味着它的 x 分量需要在包含区间 [0,1] 内 have extrema。
例如，这条曲线没有（右侧显示 x 的 component function，全局极值为红色，拐点为紫色）：
（另请注意，我们只绘制了 [0,1] 区间，但如果我们扩展它，那些全局极值实际上不会位于 t=0 和 t=1。这实际上非常重要，我们将在下面看到原因）
这条曲线也没有（但只有只是）：
但这条曲线确实：
这个也是。事实上两次：
就像曲线“刚过它的尖端”一样：
当我们夸大它时更容易看出：
这意味着我们需要找到一阶导数，找出它在哪里为零，然后确保（因为贝塞尔曲线可能有尖点）该导数的符号在那个点（或点，因为可以有两个）翻转.
事实证明，导数是 trivially not-even-really-computed，所以对于每个段，我们有：
w = [x1,x2,x3,x4]
Bx(t) = w[0] * (1-t)³ + 3 * w[1] * t(1-t)² + w[2] * t²(1-t) + w[3] * t³
// bezier form of the derivative:
v = [
3 * (w[1] - w[0]),3 * (w[2] - w[1]),3 * (w[3] - w[2]),]
Bx'(t) = v[0] * (1-t)² + 2 * v[1] * t(1-t) + v[2] * t²
我们可以简单地重写为多项式形式：
a = v[0] - 2*v[1] + v[2]
b = 2 * (v[1] - v[0])
c = v[0]
Bx'(t) = a * t² + b * t + c
所以我们找到了它的根，这就是应用 quadratic formula 的问题，它给了我们 0、1 或 2 个根。
if (a == 0) there are no roots
denominator = 2 * a
discriminant = b * b - 2 * denominator * c
if (discriminant < 0) there are no (real) roots
d = sqrt(discriminant)
t1 = -(b + d) / denominator
if (0 ≤ t1 ≤ 1) then t1 is a valid root
t2 = (d - b) / denominator
if (0 ≤ t2 ≤ 1) then t2 is a valid root
如果没有（实数）根，则该段不会导致曲线无法通过您的垂直线测试，我们将继续进行下一段并重复，直到我们发现失败，或者我们已经要测试的段用完了。
如果是 1 或 2 个根，我们检查 Bx'(t-ε) 和 Bx'(t+ε) 的符号对于一些非常小的 ε 值是否不同（因为我们想确保我们不会得出上述结论带尖头的曲线未通过测试：它的导数为零，但它“继续沿相同方向”穿过该根而不是翻转方向）。如果是，则该线段是使您的曲线无法通过垂直线测试的线段之一。
另外，请注意，即使根在 0 或 1 处，我们也在进行测试：分段曲线可能会“跨段”弯曲，我们可以利用这样一个事实：我们可以评估 Bx'(t) 用于 t = -ε 或 t = 1+ε 以查看我们是否翻转方向，即使我们从未在 t=0 之前或 {{1} 之后绘制曲线}}。
将解决方案留在这里以供参考。不是特别优雅，但可以完成工作。假设曲线从左到右参数化。关键观察是曲线在两点与垂线相交当且仅当存在 x 分量的导数 x'(t) 严格为负的点。对于三次贝塞尔曲线，导数是二次多项式 x'(t)=at^2+bt+c。所以我们只需要检查这个二次方在区间 0