使用 big-O 来描述函数的最佳情况是否有意义？

问题描述

我有一个关于 big-O 符号的非常迂腐的问题，我想对此发表一些意见。我的一个大学科目说“如果它们的第一个元素相同，则最佳 O(1)”用于检查两个列表是否具有共同元素的问题。

我对此感到不安的是，它没有描述大输入的整个域上的函数，而是描述具有相同第一个元素的两个列表的大输入的受限域。通过只讨论函数域的子集来描述函数是否有意义？当然，当仅限于该域时，时间复杂度为 omega(1)、O(1) 和 theta(1)，但这并不是描述原始函数。根据我的理解，说整个函数受 omega(1) 限制会更正确。 （和 O(m*n) 其中 m,n 是两个输入列表的大小）。

大家怎么看？

解决方法

讨论案例（正如您正确指出的那样，案例是函数域的子集）和算法运行时的界限（Omega、Oh 或 Theta）是完全正确的。它是否有用是一个更难的问题，而且是一个非常依赖情况的问题。我通常认为最好情况下的 Omega-bounds、最坏情况下的 Oh-bounds 和 Theta 边界（在所有输入的“通用”情况下，当存在这样的边界时）是最“有用的”。但是调用每个集合的第一个元素相同的输入子集，“最佳情况”，似乎是合理的用法。冒泡排序的“最佳情况”是输入的子集，它们是预先排序的数组，并且受 O(n) 的约束，优于未修改合并排序的最佳情况。

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从根本上说，大 O 表示法是一种谈论某些数量如何缩放的方式。在 CS 中，我们经常看到它用于谈论算法运行时，但我们忘记了以下所有用例都是完全合法的：

• 半径为 r 的圆的面积是 O(r²).
• 半径为 r 的球体的体积是 O(r³)。
• 掷 n 个骰子后出现 2 的预期数量为 O(n)。
• 掷出 n 个骰子后出现的最少 2 个数为 O(1)。
• 由 n 对平衡括号组成的字符串数量为 O(4ⁿ)。

考虑到这一点，使用大 O 符号来讨论算法在特定案例系列中的行为将如何扩展是完全合理的。例如，我们可以这样说：

• 使用插入排序对 n 个已排序元素的序列进行排序所需的时间为 O(n)。 （还有其他未排序的序列需要更长的时间。）
• 对具有 n 个节点的树运行广度优先搜索所需的时间为 O(n)。 （在一般图中，如果边的数量更多，这可能会更大。）
• 按排序顺序将 n 个项目插入初始为空的二进制堆所需的时间为 On）。 （对于反向排序的元素序列，这可以是 Θ(n log n)。）

简而言之，使用渐近符号来讨论算法的受限子情况是完全可以的。更一般地说，只要您对要量化的内容准确无误，就可以使用渐近符号来描述事物的增长方式。有关这样做时是否使用 O、Θ、Ω 等的更多信息，请参阅 @Patrick87 的回答。