问题描述
我有一组耦合方程,其中主偏微分方程(时间和位置 z 的函数)给出为:
第二个方程是这样的:
其中 k_m = f(q)
和 q^* = f(c)
。如您所见,第二个方程是 ODE(q
不直接依赖于空间)。我发现很难编写代码来耦合这两个方程。到目前为止,对于我忽略第二个方程并采用:q = A*c
,其中 A
是某个常数的简单情况,我能够简化并求解以下对流扩散方程:
使用以下代码:
from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ExplicitDiffusionTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,AdvectionTerm,PowerLawConvectionTerm,VanLeerConvectionTerm
from fipy.tools import numerix
#define the grid
L = 3.
nx = L * 512
dx = L/nx
mesh = Grid1D(dx=dx,nx=nx)
# create the variable and initiate it's value on the mesh
conc = CellVariable(name="Conc",mesh=mesh,value=0.)
# physical parameters
Dapp = 1e-7
u = 0.1
A = 0.85
e = 0.4
F = (1-e)/e
# provide the simplified coefficients
DiffCoeff = Dapp/(1+A*F)
ConvCoeff = ((u/(1+A*F)),)
#Boundary conditions
valueLeft = 1
valueRight = 0.
conc.constrain(valueLeft,mesh.facesLeft)
conc.faceGrad.constrain(valueRight,where=mesh.facesRight)
# define the equation
eqX = TransientTerm() == (DiffusionTerm(coeff=DiffCoeff) - VanLeerConvectionTerm(coeff=ConvCoeff))
# time stepping parameters
timestepDuration = 0.001
steps = 50000
from tqdm import tqdm
for step in tqdm(range(steps),desc="Iterating..."):
eqX.solve(var=conc,dt=timestepDuration)
# plot every 5000 iterations
if step%5000 == 0:
viewer.plot()
有人可以帮助将对流扩散方程与 fipy 框架中的 ODE 耦合。我对如何取右手边有点困惑,在有限体积的意义上应该只是一个源术语。
(https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php 用于生成 Latex 方程)
解决方法
我不清楚你的两个方程中 q 和 q* 之间的区别是什么。
对于未知数 q、q*、c 和 u,您有两个方程。我不知道 F 和 D 采取什么形式。
在我看来,你的公式只有一两个等式。
您能说出变量的含义吗(例如 u == 速度、c == 浓度、q == 热通量)?如果你说出你想解决的物理问题,也许答案会更容易。
,这是你的问题,用一些可能会给你线索的东西重新处理。
from fipy import Variable,FaceVariable,CellVariable,Grid1D,ExplicitDiffusionTerm,TransientTerm,DiffusionTerm,Viewer,AdvectionTerm,PowerLawConvectionTerm,VanLeerConvectionTerm
from fipy.tools import numerix
#define the grid
L = 3.
nx = L * 512
dx = L/nx
mesh = Grid1D(dx=dx,nx=nx)
# create the variable and initiate it's value on the mesh
conc = CellVariable(name="Conc",mesh=mesh,value=0.)
# physical parameters
Dapp = 1e-7
u = 0.1
A = 0.85
e = 0.4
F = (1-e)/e
# provide the simplified coefficients
DiffCoeff = Dapp
ConvCoeff = ((u),)
#Boundary conditions
valueLeft = 1
valueRight = 0.
conc.constrain(valueLeft,mesh.facesLeft)
conc.faceGrad.constrain(valueRight,where=mesh.facesRight)
def q_star_func(conc):
return some_conc_expression
q_star = Variable(q_star_func(conc))
q_star_old = Variable(q_star_func(conc))
# define the equation
eqX = TransientTerm() + F * (q_star - q_star_old) / dt == (DiffusionTerm(coeff=DiffCoeff) - VanLeerConvectionTerm(coeff=ConvCoeff))
# time stepping parameters
timeStepDuration = 0.001
steps = 50000
q_value = 1.
def k_m(q):
return some_q_expression
viewer = Viewer(conc)
from tqdm import tqdm
for step in tqdm(range(steps),desc="Iterating..."):
q_star.set_value(q_star_func(conc))
eqX.solve(var=conc,dt=timeStepDuration)
q_star_old.set_value(q_star.value)
q_value = (q_value + timeStepDuration * k_m(q) * q_star.value) / (1 + timeStepDuration * k_m(q))
# plot every 5000 iterations
if step%5000 == 0:
viewer.plot()
您可以为 q_star
的瞬态项添加源项,并将 ODE 添加到循环中。 q_star
必须是一个变量,因为它需要在方程内部更新。 q_value
似乎对 conc
的主要方程没有任何反馈,这有点奇怪。需要定义函数 q_star_func
和 k_m
。如果您想要更复杂的方法来求解 q
,您也可以使用 Scipy 的 ODE 求解器。您需要通过求解 q_star
的主要方程随时间收集 conc
的值。由于主方程与 q
无关。