假设我们现在拿到了一个非常大的数组，对于这个数组里面的数字要反复不断地做两个操作。

1、（query）随机在这个数组中选一个区间，求出这个区间所有数的和。

2、（update）不断地随机修改这个数组中的某一个值。

时间复杂度：

枚举：

枚举L~R的每个数并累加。

query：O（n）

找到要修改的数直接修改。

update：O（1）

如果query与update要做很多很多次，query的O（n）会被卡住，所以时间复杂度会非常慢。那么有没有办法把query的时间复杂度降成O（1）呢？其中一种方法如下：

先建立一个与a数组一样大的数组。

s[1]=a[1];s[2]=a[1]+a[2];s[3]=a[1]+a[2]+a[3];...;s[n]=a[1]+a[2]+a[3]+...+a[n]（在s数组中存入a的前缀和）

此时a[L]+a[L+1]+...+a[R]=s[R]-s[L-1]，query的时间复杂度降为O（1）。
但若要修改a[k]的值，随之也需修改s[k],s[k+1],...,s[n]的值，时间复杂度升为O（n）。

前缀和：

query：O（1）

update：O（n）

我们发现，当我们想尽方法把其中一个操作的时间复杂度改成O（1）后，另一个操作的时间复杂度就会变为O（n）。当query与update的操作特别多时，不论用哪种方法，总体的时间复杂度都不会特别快。
所以，我们将要讨论一种叫线段树的数据结构，它可以把这两个操作的时间复杂度平均一下，使得query和update的时间复杂度都落在O（n log n）上，从而增加整个算法的效率。

线段树

假设我们拿到了如下长度为6的数组：

在构建线段树之前，我们先阐述线段树的性质：

1、线段树的每个节点都代表一个区间。

2、线段树具有唯一的根节点，代表的区间是整个统计范围，如[1,N]。

3、线段树的每个叶节点都代表一个长度为1的元区间[x,x]。

4、对于每个内部节点[l,r]，它的左子结点是[l,mid]，右子节点是[mid+1,r]，其中mid=(l+r)/2（向下取整）。

依照这个数组，我们构建如下线段树（结点的性质为sum）：

若我们要求[2-5]区间中数的和：

若我们要把a[4]改为6：

先一层一层找到目标节点修改，在依次向上修改当前节点的父节点。

接下来的问题是：如何保存这棵线段树？

用数组存储。

若我们要取node结点的左子结点（left）与右子节点（right），方法如下：

left=2*node+1
right=2*ndoe+2

举结点5为例（左子结点为节点11，右子节点为节点12）：

left₅=2*5+1=11
right₅=2*5+2=12

接下来给出建树的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1,3,5,7,9,11}; int size = 6; int tree[N] = {0}; //建立范围为a[start]~a[end] 
void build(int a[],int tree[],int node/*当前节点*/,int start,int end){ //递归边界(即遇到叶子节点时) 
    if (start == end){ //直接存储a数组中的值 
        tree[node] = a[start]; } else { //将建立的区间分成两半 
        int mid = (start + end) / 2; int left  = 2 * node + 1;//左子节点的下标 
        int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标 //求出左子节点的值(即从节点left开始,建立范围为a[start]~a[mid])
 build(a,tree,left,start,mid); //求出右子节点的值(即从节点right开始,建立范围为a[start]~a[mid])
        build(a,right,mid+1,end); //当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值 
        tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } int main(){ //从根节点(即节点0)开始建树,建树范围为a[0]~a[size-1]
    build(a,0,size-1); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n",i,tree[i]); return 0; }

运行结果：

update操作：

确定需要改的分支，向下寻找需要修改的节点，再向上修改节点值。
与建树的函数相比，update函数增加了两个参数x，val，即把a[x]改为val。

例：把a[x]改为6（代码实现）

void update(int a[],int node,int end,int x,int val){ //找到a[x],修改值 
    if (start == end){ a[x] = val; tree[node] = val; } else { int mid = (start + end) / 2; int left  = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; if (x >= start && x <= mid) {//如果x在左分支 
 update(a,mid,x,val); } else {//如果x在右分支 
            update(a,end,val); } //向上更新值 
        tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } 在主函数中调用： //把a[x]改成6
update(a,size-1,4,6);

运行结果：

query操作：

向下依次寻找包含在目标区间中的区间，并累加。
与建树的函数相比，query函数增加了两个参数L，Rl，即把求a的区间[L,R]的和。

例：求a[2]+a[3]+...+a[5]的值（代码实现）

int query(int a[],int L,int R){ //若目标区间与当时区间没有重叠,结束递归返回0 
    if (start > R || end < L){ return 0; } //若目标区间包含当时区间,直接返回节点值 
    else if (L <=start && end <= R){ return tree[node]; } else { int mid = (start + end) / 2; int left  = 2 * node + 1; int right = 2 * node + 2; //计算左边区间的值 
        int sum_left  = query(a,L,R); //计算右边区间的值 
        int sum_right = query(a,R); //相加即为答案 
        return sum_left + sum_right; } } 在主函数中调用： //求区间[2,5]的和
int ans = query(a,2,5); printf("ans = %d",ans);

运行结果：

最后，献上完整的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; const int N = 1000; int a[] = {1,int end){ //递归边界(即遇到叶子节点时) 
    if (start == end) { //直接存储a数组中的值 
        tree[node] = a[start]; } else { //将建立的区间分成两半 
        int mid = (start + end) / 2; int left  = 2 * node + 1;//左子节点的下标 
        int right = 2 * node + 2;//右子节点的下标 //求出左子节点的值(即从节点left开始,end); //当前节点的职位左子节点的值加上右子节点的值 
        tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } void update(int a[],val); } //向上更新值 
        tree[node] = tree[left] + tree[right]; } } //求a[L]~a[R]的区间和 
int query(int a[],R); //相加即为答案 
        return sum_left + sum_right; } } int main(){ //从根节点(即节点0)开始建树,tree[i]); printf("\n"); //把a[x]改成6
    update(a,6); for(int i = 0; i <= 14; i ++) printf("tree[%d] = %d\n",tree[i]); printf("\n"); //求区间[2,5]的和
    int ans = query(a,5); printf("ans = %d",ans); return 0; }

运行结果：

学习视频链接

【数据结构】线段树Segment Tree

线段树

相关文章