【数据结构】Treap——方便的平衡树

前言

顾名思义，treap就是tree+Heap，复杂度与Splay的均摊$log$不同，treap是期望$log$，但与Splay比起来，功能都差不多，但代码的长度和调试难度都比Spaly要舒服很多，

简介

treap是一棵二叉查找树，与普通的二叉查找树不同，对于每个节点，它还记录一个随机值$rd$，满足，如果只看$rd$的话，它就是一个堆，
这样，它的期望深度就是$log$的，每次的查询修改直接在上面跑也没问题。

以下为treap的基本操作，各种在这上面扩展出的其他的操作这里就不细讲了

Build

我们可以发现一棵treap同时也是一棵迪笛卡尔树，
那么建树就可以O(n)解决了，用一个栈即可，
（当然你像插入一样做也没问题）

//b[i].rd为位置i的随机值
//merge()为标记的合并，
void build(int q)
{
    if(b[q].l)build(b[q].l);
    if(b[q].r)build(b[q].r);
    merge(q);
}
void build_treap()
{
    int la,w;
    n++;b[n].rd=2e9;
    fo(i,1,n)
    {
        int la=0;
        for(;za[0]&&b[za[za[0]]].rd<b[i].rd;za[0]--)
        {
            la=w=za[za[0]];
            if(za[0]-1)b[w].fa=za[za[0]-1],b[za[za[0]-1]].r=w;
        }
        if(i>n)break;
        b[i].l=la;
        b[la].fa=i;
        za[++za[0]]=i;
    }
    root=n;
    build(root);
}

Split

treap当然离不开Split操作啦，
这个点操作的作用是把treap两棵treap，一半为前si个，另一半就是剩下的，
具体的操作是：判断断开的位置是在左子树还是右子树，再递归求解，
（看标的话理解的会快一点）

//merge()为标记的合并，

typedef pair<int,int> TRP;

TRP split(int q,int si)
{
    if(!si)return TRP(0,q);
    TRP t;
    if(si<=b[b[q].l].si)
    {
        t=split(b[q].l,si);
        b[q].l=t.second;
        t.second=q;
    }else
    {
        t=split(b[q].r,si-1-b[b[q].l].si);
        b[q].r=t.first;
        t.first=q;
    }
    merge(q);
    return t;
}

Merge

合并就简单了，直接把较大的那个放到这个位置即可

//因为merge函数被标记合并占用了，所以只能用另一个词了

int amalgamate(int q,int w)
{
    if(!q||!w)return q+w;
    if(b[q].rd>b[w].rd)
    {
        b[q].r=amalgamate(b[q].r,w);
        merge(q);
        return q;
    }
    b[w].l=amalgamate(q,b[w].l);
    merge(w);
    return w;
}