陈越《数据结构》第四讲 树中

4.1 二叉搜索树

4.1.1 定义与抽象数据类型的基本操作

1.$\color{red}{定义：}$

一棵二叉树，可以为空；如果不为空，满足以下性质：
1. 非空 左子树 的所有 键值小于其根结点 的键值。
2. 非空 右子树 的所有 键值大于其根结点 的键值。
3. 左、右子树都是二叉搜索树 。

2.$\color{red}{抽象数据类型：}$

查找：
1.1. Position Find( ElementType X,BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST中查找元素X ，返回其所在结点的地址；
1.2. Position FindMin( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST 中查找并返回最小元素所在结点的地址；
1.3. Position FindMax( BinTree BST ) ：从二叉搜索树BST 中查找并返回最大元素所在结点的地址。

注：
1. $\color{red}{尾递归都可以用循环实现！}$
2. 查找效率与树的高度有关！

插入与删除
1. BinTree Insert( ElementType X,BinTree BST )
2. BinTree Delete( ElementType X,BinTree BST )
注：
1. 插入和删除有三种情况：
- 没有左儿子和右儿子；
- 只有左儿子或者右儿子；
- 既有左儿子又有右儿子（选取右子树中最小的那个）。

4.2 平衡二叉树

4.2.1 定义和特点

1.$\color{red}{平衡因子和平衡二叉树}$

平衡因子定义：
$\color{red}{平衡因子}$（Balance Factor，简称BF）: $BF(T) = h_L -h_R$其中$h_L$ 和$h_R$ 分别为$T$左、右子树的高度。

平衡二叉树的定义：
$\color{red}{平衡二叉树}$(Balanced Binary Tree)（AVL)：
空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1 ，即$|BF(T) |≤ 1$。

2.$\color{red}{平衡因子的高度}$

4.2.2 平衡二叉树的调整

整体思路：
$\color{red}{发现“麻烦节点”，寻找麻烦节点的的原因（RR、LR、LL、RL），最后根据原因进行求解。}$

1. $\color{red}{RR旋转}$
   

2. $\color{red}{LL旋转}$
   

3. $\color{red}{LR旋转}$
   

4. $\color{red}{RL旋转}$
   

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